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Suites et récurrence

Ce chapitre vient prolonger les connaissances acquises en classe de Première sur les suites. Le programme de Terminale comporte des rappels et des compléments sur les suites arithmétiques, les suites géométriques, le comportement global d’une suite, le comportement asymptotique d’une suite, le théorème de convergence des suites croissantes majorées et les propriétésdes suites ( u n ) de la forme u n+1 = f ( u n ) qui convergent vers un réel L lorsque la fonction f est continue en L. Des exercices divers permettront d’introduire le vocabulaire usuel des suites et nécessitant l’utilisation de raisonnements par récurrence. Le principe du raisonnement par récurrence sera présenté comme un axiome. On s’aidera de l’utilisation d’outil de calcul : calculatrice ettableur. À l’aide d’un tableur, certains exercices permettront d’aborder numériquement, sans aucune étude théorique, la notion de rapidité de convergence d’une suite ( u n ) vers sa limite L. Quelques problèmes aborderont l’étude de suites ( u n ) définies par u n+1 = au n + b. Dans ce chapitre seront aussi étudiés les suites adjacentes et le théorème des suites adjacentes. Certains exercices ferontle lien entre les suites adjacentes et la méthode de dichotomie. L’objectif de cette partie est de compléter les connaissances sur l’écriture décimale d’un nombre réel et de savoir exploiter les suites adjacentes pour établir des encadrements, obtenir des valeurs approchées des solutions d’une équation. Des exercices aborderont l’utilisation des suites dans divers domaines concrets.

Corrigésdes activités préparatoires
ACTIVITÉ 1
Objectif
Rappeler le vocabulaire de base des suites définies de manière explicite et des suites définies par une relation de récurrence.

d) u n+1 = ( n + 1 ) 2 + 2 ( n + 1 ) = n 2 + 4n + 3, u n + 1 = n 2 + 2n + 1. e) La fonction f définie sur [0 ; +∞[ telle que : ∀n ∈ , u n = f ( n ) est f : x x 2 + 2x.

Cette activité peut être préparée à la maison.
1)a) u 0 = 0, u 1 = 3, u 2 = 8, u 3 = 15. b) u 10 = 120. c) u 8 = 80.

2) a) v 0 = 3, v 1 = 3 2 + 3 = 12, v 2 = 12 2 + 12 = 156, v 3 = 156 2 + 156 = 24 492. b) v 4 = 24 492 2 + 24 492 = 599 882 556.
2 c) v n+2 = v n+1 + v n+1 .

Editions Belin - Radia Term. S

Suites et récurrence

1

d) La fonction f définie sur telle que : ∀n ∈ , v n+1 = f ( v n ) est f : x x 2 + x.

Or q est un réeldifférent de 0 et de 1, d’où 1 – q n+1 S = -------------------- . 1–q b) Si q = 1, alors

ACTIVITÉ 2
Objectif
Revoir les connaissances acquises sur les suites arithmétiques et géométriques apprises en 1 re S.

∑ q = ∑ 1 = n + 1.
i i=0 i=0

n

n

3) a) u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q 2 + ... + u 0 q n = u 0 × ( 1 + q + q 2 + ... + q n ) 1 – q n+1 = u 0 ×-------------------- , 1–q d’après la question B- 2) a). b) Si q = 1, alors

Cette activité peut être préparée à la maison, après avoir rappelé les définitions et les propriétés des pages 178 et 179 du manuel.
A- 1) a) On a u 2 – u 1 = u 1 – u 0 = 5, d’où la raison de la suite arithmétique ( u n ) est 5. b) u 7 = u 4 + ( 7 – 4 ) × r ⇔ 2006 = 125 + 3r ⇔ r = 627, d’où la raison de la suite arithmétique ( u n )est 627. 2) Soit S = 1 + 2 + 3 + ... + ( n – 2 ) + ( n – 1 ) + n. On peut aussi écrire : S = n + ( n – 1 ) + ( n – 2 ) + ... + 3 + 2 + 1. Par conséquent, en additionnant membre à membre les deux égalités, on obtient : 2S = ( n + 1 ) + ( n + 1 ) + ... + ( n + 1 ) + ( n + 1 ) , n × (n + 1) alors 2S = n × ( n + 1 ), d’où : S = --------------------------- . 2 3) Posons : S n = u 0 + u 1 + u 2 + ... +u n = u 0 + ( u 0 + r ) + ( u 0 + 2r ) + ... + ( u 0 + nr ) où r est la raison de la suite arithmétique ( u n ) n∈ . Alors S n = ( n + 1 )u 0 + r × ( 1 + 2 + ... + n ). D’où, d’après la question 2) , n × (n + 1) S n = ( n + 1 )u 0 + r × --------------------------- . 2 Alors : u 0 + u 0 + nr 2u 0 + nr S n = ( n + 1 ) ⎛ ---------------------- ⎞ = ( n + 1 ) ⎛ ------------------------------- ⎞ ⎝ ⎠ ⎝...
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