Chap3 : Fonctions numérique à deux variables

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Produit cartésien
Fonctions de deux variables
Limites et continuité
Dérivées partielles
Extremums - optimisation

Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Définition
Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par :
E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }.
Exemple
R2 = R × R
R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0}
R3 = R × R × R

Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Définition
Soient X = (x1 , x2 ) et Y = (y1 , y2 ) deux éléments de R2 .
On dit que X = Y ⇔ x1 = y1 et x2 = y2 .
X ± Y = (x1 ± y1 ; x2 ± y2 ). λX = (λx1 ; λx2 ) , ∀λ ∈ R.

Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Définition
Soient a, b et c des réels tels que (a, b) = (0, 0). Le sous-ensemble de R2 donné par : ∆ = {(x, y )/ax + by + c = 0} définit une droite, dite droite d’équation ax + by + c = 0.
Cas particulier :
Si b = 0 : l’équation d’une droite peut être écrite sous la forme réduite : y = − ba x − bc .
Si b = 0 : l’équation de la droite est donnée par : ax + c = 0 ( droite verticale)
Si a = 0 : l’équation de la droite est donnée par : by + c = 0 ( droite horizontale )

Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Définition
L’équation d’un demi-plan est donnée par : ax + by + c ≥ 0
Qu’on peut la réecrire sous la forme réduite : y ≥ αx + β avec α =

−c
−a
et β =
, b = 0. b b

Position d’un demi-plan par-rapport à une droite
Soit ∆ la droite d’équation ax + by + c = 0.
L’équation du demi-plan supérieur (resp. strictement supérieur ) P1 est donnée par : ax + by + c ≥ 0 ( resp. ax + by + c > 0) .
L’équation du demi-plan inférieur (resp. strictement inférieur ) P2 est donné par : ax + by + c ≤ 0 ( resp. ax + by + c < 0) .
Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Pr. Otheman Nouisser

ENCG- Kénitra, 2014

Equation d’un cercle
Le cercle de centre A = (x0 , y0 ) et de rayon r est défini par :
C (A, r ) = {(x, y ) ∈ R2 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 =