Mathematiques

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  • Publié le : 22 novembre 2010
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FONCTIONS I- généralités
Définition : Une fonction numérique est un outil mathématique qui à tout réel x associe AU PLUS un réel y noté f(x).

Quand f(x) existe, f(x) est L’IMAGE de x par f, et x est UN ANTECEDENT de y par f. Exemple : f ( x) =
x f(x) x² + 3 . Compléter le tableau suivant : x −1 -2 -1 0 1 2 3 5

x f(x)

-2
−7 3

-1 -2

0 -3

1 ///

2 7

3 6

5 7

Onconstate que 1 n’a pas d’image. On constate que f(2) = 7. Ainsi, L’image de 2 est 7, et 2 est UN antécédent de 7 par f. On constate que 2 et 5 ont la même image :7. Donc 7 a (au moins ) deux antécédents par f.

Définition :

On note Df l’ensemble de définition de f.

Df = { x ∈ ℝ / f ( x) existe} .
Exemple :

Df = { x ∈ ℝ / x − 1 ≠ 0} = { x ∈ ℝ / x ≠ 1} = ℝ \ {1}

Définition :

On note Cf lacourbe représentative (ou graphe) de f.

Cf = {M ( x; y ) ∈ P / y = f ( x), ∀x ∈ Df }
L’égalité “y = f(x)” est appelée “équation de Cf ”.

Exemple : Le point de coordonnées (2 ; 7) appartient à Cf car f(2) = 7,
mais pas le point de cordonnées (0 ; 2) car f(0) = -3 et –3 ≠ 2.

Activité :

Placer les points connus de Cf dans un repère orthonormé d’unité 1cm, et “imaginer” Cf.

1 Propriété : soit k un nombre réel (“constant”) : • L’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; k) pour x variant dans R est une droite parallèle à l’axe des abscisses (on dit souvent “horizontale”) qui a pour équation y = k et qui représente une fonction dite “constante”, celle qui à tout réel x associe la valeur k. • L’ensemble des points du plan de coordonnées (k ; y) pour y variant dans Rest aussi une droite, qui est parallèle à l’axe des ordonnées (on dit souvent “verticale”), qui a pour équation x = k mais qui ne représente pas une fonction (k aurait sinon plusieurs images).

Propriété : Résoudre graphiquement l’équation (ou l’inéquation) • • • • f(x) = k, c’est trouver les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite d’équation y=k f(x) > k, c’est trouver lesabscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d’équation y=k f(x) = g(x), c’est trouver les abscisses des points d’intersection de Cf avec Cg f(x) > g(x), c’est trouver les abscisses des points de Cf situés au dessus de Cg.

Enfin, les positions relatives de Cf et de Cg dépendent du signe de l’expression d(x) = f(x) – g(x). • si d(x) > 0 sur un intervalle I, alors Cf est au-dessus de Cg surI , • si d(x) < 0 sur un intervalle I, alors Cf est en-dessous de Cg sur I .

Activité : a) Résoudre dans R l’inéquation f(x) < -x + 12, où f ( x) =

x² + 3 x −1

b) Résoudre graphiquement dans R l’inéquation f(x) < -x + 12 (on pourra s’aider de la calculatrice graphique.) c) Quelle est l’équation de la droite (d) (en pointillés sur le graphique) ? d) Etudier les positions relatives de Cfet de (d). e) Déterminer graphiquement le signe de f(x). Vérifier par le calcul.

2

Courbe de f.
y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Cf

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

6

7

8

x

3

II- fonction affine
Déf : Soit a et b deux nombres réels. La fonction définie sur R par f(x) = ax + b est appelée “fonctionaffine”. Rque : Si a≠0, on parle de fonction polynôme de degré 1.

Prop : Toute fonction affine est représentée par une droite (non verticale) d’équation(réduite) y = ax + b. ∆y a est le coefficient directeur : a = ∆x (taux d’accroissement moyen entre deux points) b est l’ordonnée à l’origine (intersection avec l’axe des ordonnées).

Activité : lecture graphique de a et de b : Tracer lesdroites : (d1) passant par les points de A1(1 ; 1) et B1(2 ; 3) (d2) passant par les points de A2(0 ; 1) et B2(2 ; 2) (d3) passant par les points de A3(0 ; 2) et B3(4 ; -1) Déterminer leur équation réduite à l’aide du graphique.

y 3 2 1

2 1

-2

-1

0 -1

1

2

3 x

a=
-2 -3

2 =2 1

4

3 2 1

y 4 3

1 2
2 1

4 3

-1

0 -1 -2

1 a = = 0,5 2

1

2

3

x...
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