1/ Rappels
Définition : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.
D’un point de vue pratique, cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :
La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour tout x : exp’ (x) = exp (x)
- pour tout x : exp (x) > 0
- exp (0) = 1 ces résultats ont été vus en détail dans le premier module de traitant la fonction exponentielle.
Le nombre exp(1) étant noté e, la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance : [pic]

Et grâce à cette notation, il devient simple de retenir ses propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmes que celles d’une puissance :
[pic]
Quels que soient a et b réels :
[pic]
[pic] Il est également important de connaître une valeur approchée de La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [pic][
Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).
On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).
Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est appelée : fonction logarithme népérien et notée ln.

[pic]
Tout nombre réel y strictement positif peut donc s’écrire sous forme exponentielle : y = esp (x) avec x = ln y

Autrement dit :
Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire : y = eln y

Il faut également connaître les deux propriétés qui permettent de résoudre équations et inéquations :
* Quels que soient a et b réels : ea = eb ⇔ a = b
* Quels que soient a et b réels : ea < eb ⇔ a < b

2 / Etude de la fonction exponentielle
Nous savons que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Pour dresser son tableau de variations complet, il ne nous reste donc qu’à trouver