Séries numériques

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Tout au long de ce chapitre, N désigne l’ensemble des entiers naturels. Le corps des nombres réels est noté R et celui des nombres complexes est noté C. Par ailleurs, K désignera soit R, soit C. Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique.

1. Généralités
1.1 Définitions
Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N

Sn = k=0 ak .

Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an .
® Remarques
• Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme général est la somme des premiers termes d’une autre suite. • Toute suite numérique peut être interprétée comme une série. En effet, si (an ) est une suite numérique, en notant pour tout entier naturel n an − an−1 , si n > 0 ; bn = si n = 0, a0 , on a n n

∀n ∈ N

an = a0 + k=1 ak − ak−1 =

bk . k=0 En d’autres termes, la suite (an ) est la série de terme général bn .

• On peut définir des séries à valeurs dans un ensemble E, dès lors que celui-ci est muni d’une « addition ». On an . peut en particulier, lorsque (an ) est une suite à valeurs dans un K-espace vectoriel, introduire la série • Il arrive qu’une suite (an ) ne soit définie qu’à partir d’un rang n0 . La série de terme général an est alors   n 

k=n0

ak 

.

n

n0

Généralités

Définition 2 Soit (an ) une suite numérique. On dit que la série an est convergente (ou qu’elle converge) lorsque la suite (Sn ) des sommes partielles est convergente ; on dira qu’elle est divergente (ou qu’elle diverge) sinon. Lorsque la série de terme général an est convergente, on appelle somme de la série an
+∞

la limite des sommes partielles. On note k=0 +∞

ak la somme, c’est-à-dire n ak = lim k=0 n→+∞

ak . k=0 Étudier la nature d’une série c’est