A 2012 MATH. II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI). CONCOURS 2012

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l’épreuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP .

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP .

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Formule sommatoire de Poisson
L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et intégrables sur R, et L ∗ l’espace vectoriel des fonctions continues f telles qu’il existe α > 1 pour lequel la fonction x → |x|α f (x) est bornée sur R.

A. Préliminaires
La transformée de Fourier de f ∈ L est la fonction fˆ définie par la formule : fˆ(ξ) =
∞ −∞

f (x) e −2i πxξ dx.

1) Justifier que pour tout f ∈ L , fˆ est bien définie et continue sur R. On désigne par W l’ensemble des fonctions f ∈ L telles que fˆ ∈ L , et par W ∗ l’ensemble des fonctions f ∈ L ∗ telles que fˆ ∈ L ∗ . 2) Établir que W et W ∗ sont des espaces vectoriels sur C, vérifiant l’inclusion W ∗⊂W . Étant donné f ∈ L , α > 0 et y, ν ∈ R, on pose, pour tout x ∈ R, f α (x) = f (αx) et f y,ν (x) = f (x + y)e −2i πνx . 3) Déterminer les transformées de Fourier de f α et f y,ν en