Maths bac terminale s

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Baccalauréat S France 15 juin 2006
E XERCICE 1 Commun à tous les candidats → → → − − − Soit O, ı ,  , k un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3), C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1), I 4 points

3 9 ; 4; − 5 5

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaquequestion, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon. 1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0. 2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). 3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :   x y  z = = = −1 + 2t −1 + t 1−t

(CD)

(t ∈ R).

5. Le point I est sur ladroite (AB). E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 e1−x . → → − − On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal O, ı ,  d’unité graphique 2 cm. a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ? b. Justifier que f est dérivable sur R. Déterminer sa fonction dérivée f . c.Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C . 2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale I n définie par In =
1 0

5 points

x n e1−x dx.

a. Établir une relation entre I n+1 et I n . b. Calculer I1 , puis I2 . c. Donner une interprétation graphique du nombre I2 . On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c. 3. a. Démontrer que pour tout nombreréel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante : xn x n e1−x x n e.

b. En déduire un encadrement de I n puis la limite de I n quand n tend vers +∞.

Baccalauréat S

Baccalauréat S

E XERCICE 3 Candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

→ → − − On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthononnal direct O, u , v .Dans tout l’exercice, P \{O} désigne le plan P privé du point origine O. 1. Question de cours On prend comme pré-requis les résultats suivants : – Si z et z sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) à 2kπ près, avec k entier relatif − → → − − → – Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a : arg(z) = u ; w à 2kπ près, avec k entier relatif a. Soit z et z des nombrescomplexes non nuls, démontrer que z arg = arg(z) − arg(z ) à 2kπ près, avec k entier relatif. z b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, c −a − − − − → → = AB , AC à 2kπ près, d’affixes respectives a, b, c, on a : arg b−a avec k entier relatif. 2. On considère l’application f de P \{O} dans P \{O} qui, au point M du plan 1 d’affixe z, associe le point M d’affixez définie par : z = . On appelle U et V z les points du plan d’affixes respectives 1 et i. a. Démontrer que pour z = 0, on a arg z = arg(z) à 2kπ près, avec k entier relatif. En déduire que, pour tout point M de P \{O} les points M et M = f (M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O. b. Déterminer l’ensemble des points M de P \{O} tels que f (M) = M. c. M est un point du plan P distinct deO, U et V, on admet que M est aussi distinct de O, U et V. z −1 1 z −1 z −1 Établir l’égalité = = −i . z −i i z +i z −i z −1 z −1 En déduire une relation entre arg et arg z −i z −i a. Soit z un nombre complexe tel que z = 1 et z = i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et z −1 seulement si est un nombre réel non nul. z −i b. Déterminerl’image par f de la droite (UV) privée de U et de V. 5 points

3.

E XERCICE 3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A : Question de cours 1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. 2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout. Partie B Il s’agit de résoudre dans Z le système (S) n n ≡ ≡ 13 6 (19) (12)

1. Démontrer qu’il existe un...
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