Maths cours l1

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  • Publié le : 12 novembre 2011
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Licence Economie et Gestion – Première année Mathématiques

Unité d’enseignement M1
Document de cours

Analyse à une variable réelle
1. Généralités sur fonctions et équations numériques 2. Notions de variations et de croissance (1) 3. Notions de variations et de croissance (2) 4. Optimisation de fonctions numériques 5. Familles de fonctions numériques et équations numériques paramétrées 6.Sommation, intégration

Avertissement A l’exception de la leçon 6, ce document présente les notions de base annoncées dans le syllabus de l’unité de valeur M1 et dont l’acquisition sera évaluée à l’examen sous la forme d’un ensemble d’exercices. Le document comporte quelques exercices, généralement corrigés et utiles à la progression de la compréhension. Un recueil d’exercices non corrigés estdisponible à part

Auteur : Alain Birebent

Année universitaire : 2011-2012

Licence Economie et gestion – Unité M1 – Leçons 1 à 6

Leçon 1 : généralités sur fonctions numériques à une variable et les équations numériques à une inconnue
Plan de la leçon 1. Usage de fonctions numériques en modélisation économique 2. Les fonctions numériques à une variable numérique 3. Quelques fonctions «classiques » 4. Equations numériques à une inconnue 5. Composition de fonctions numériques 6. Continuité, discontinuités 7. Quelques exercices corrigés

1. Usage de fonctions numériques en modélisation économique Les sciences économiques et de gestion définissent des grandeurs quantifiées, à savoir, le plus souvent, des grandeurs rapportées à des unités : une production ou un stock (en tonnes,en litres, etc.), un coût ou un bénéfice (en euros ou une autre unité monétaire), etc. Dans les analyses qu’elles produisent, ces sciences élaborent, pour un contexte qu’elles s’attachent à préciser, des relations entre ces grandeurs et fabriquent ainsi des modèles mathématiques. Certaines de ces relations sont alors traduites mathématiquement en exprimant les grandeurs quantifiées par desvariables numériques. Par exemple, dans le cas d’une certaine production d’un bien par une entreprise, on met en relation le bénéfice (B, en euros), le prix de vente unitaire du bien (p, en euros), la quantité de bien produite (q, en unités du bien) et le coût total pour l’entreprise de la quantité produite (C, en euros) : B = pq – C. Tout au long de cette leçon et de celles qui suivront nous nousappuierons sur cet exemple. Du point de vue des mathématiques, il est remarquable de constater dans cette relation qu’à chaque valeur donnée à q (un nombre positif) correspond une seule valeur de C (un nombre positif) et qu’en conséquence, une fois le prix p établi, correspond une seule valeur de B (un nombre positif ou négatif). On dit que C est fonction de q et qu’il en de même de B. Pour pouvoiropérer sur la notion de fonction, le mathématicien a besoin de dégager l’objet « fonction » et de le définir rigoureusement. Dans le cas « C est fonction de q » la fonction est, mathématiquement parlant, une mise en correspondance de deux ensembles de nombres : - un ensemble de départ (toutes les valeurs que l’on peut donner à la variable q) - un ensemble d’arrivée (toutes les valeurs que l’on peutdonner à la variable C) La mise en correspondance est réalisée dès qu’il y a un moyen de connaître (par une formule, un graphique ou un tableau par exemple) la valeur de C à partir de la valeur de q choisie. Ainsi, le mathématicien distingue, nomme et note trois objets : - l’ensemble de départ, ici IR+ par exemple - l’ensemble d’arrivée, ici IR+ par exemple - f, le moyen d’associer la valeur de C pourtelle ou telle valeur de q. Il énonce que f est une fonction de IR+ vers IR+ et il écrit : C = f(q). Il dit que f est une fonction numérique à une variable numérique (la variable q). C est aussi une variable mais en écrivant C = f(q), le mathématicien considère que q est la variable dont les variations provoquent et expliquent celles de C (cf. remarque ci-après). Le phénomène de co-variation...
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