Maths exercice

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 9 (2178 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 16 janvier 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité
Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité !

Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0,et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé.

Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) .

Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2Passer à l’exponentielle donne le résultat.

Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup Par concavité du logarithme : ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · + ln(an ) . n

On applique l’exponentielle et les propriétés habituelles du logarithme pour trouver le résultat !

Exercice 5 - Intégrale - L1/Math Sup La corde passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) a pour équation y= f(b) − f (a) (x − a) + f (a). b−a

Pour les points d’abscisse comprise entre a et b, la courbe représentative de f est au-dessus de cette corde, c’est-à-dire que f (t) ≤ f (b) − f (a) (t − a) + f (a) b−a

pour t ∈ [a, b]. On intègre cette inégalité entre a et b et on trouve
b

f (t)dt ≤ f (b) − f (a)
a

(b − a) f (a) + f (b) + f (a)(b − a) = (b − a) . 2 2

http://www.bibmath.net

1 Fonctions convexes : corrigé
Pour prouver l’autre inégalité, il suffit de remarquer que la courbe représentative de f est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse (a + b)/2. Autrement dit, pour tout t ∈ R, on a f (t) ≥ f a+b 2 t− a+b 2 +f a+b . 2

Intégrer cette inégalité entre a et b donne exactement
b

f (t)dt ≥ (b − a)f
a

a+b . 2

Exercice 6 - Majoration de f grâce à f -L1/Math Sup 1. f est continue sur le segment [a, b]. Elle est donc bornée et atteint ses bornes. 2. On calcule les dérivées secondes qui sont g (x) = f (x)+M ≥ 0 et h (x) = f (x)−M ≤ 0. Ceci prouve bien que g est convexe et que h est concave. 3. Par convexité de g, et puisque g(a) = g(b) = 0, on sait que la courbe représentative de g est sous la corde reliant (a, g(a)) à (b, g(b)) et donc g(x) ≤ 0 =⇒ f(x) ≤ M (x − a)(b − x) . 2

De même, la courbe représentative de h est au-dessus de ses cordes, et donc h(x) ≥ 0 =⇒ h(x) ≤ −M (x − a)(b − x) . 2

Les deux inégalités réunies donnent exactement l’inégalité demandée.

Exercice 7 - Inégalités de Hölder et de Minkowski - L1/Math Sup 1. La fonction ln est concave, et on a donc : ln 1 p 1 q x + y p q ≥ 1 1 ln (xp ) + ln (y q ) = ln (xy) . p qIl suffit ensuite de passer à l’exponentielle. 2. Il suffit de sommer les n équations : ai bi ≤ 3. On pose αi =
ai 1/p ap ) i

1 p 1 q a + bi . p i q . D’après la question précédente,

(

n i=1

et βi =

(

bi 1/q n bq i=1 i

)

n

αi βi ≤ 1.
i=1

Il suffit ensuite de remplacer αi et βi par leur valeur pour trouver la formule. http://www.bibmath.net 2

Fonctions convexes :corrigé
4. On décompose (ai + bi )p en (ai + bi )p−1 ai + (ai + bi )p−1 bi . Soit q tel que 1/p + 1/q = 1, c’est à dire que pq − q = p. En appliquant Hölder à chacun des membres, on a :
n n 1/p n 1/q n 1/p n 1/q

ai +
i=1

bp i


i=1

ap i

n

×
i=1 1/p

|ai + bi |
n

(p−1)q

+
i=1 n

bp i
1−1/p

×
i=1

|ai + bi |

(p−1)q

1/p

 ×

≤ 
i=1

ap i

+
i=1bp i

|ai + bi |p
i=1

.

Il suffit de tout refaire passer au premier membre pour obtenir le résultat. Remarquons que le résultat est aussi vrai pour p = 1. Dans ce cas, il est juste trivial !

Propriétés des fonctions convexes
Exercice 8 - Fonctions convexes bornées - L1/Math Sup 1. D’abord, si x ∈ [a, b], la courbe est au-dessus de la droite (propriété du cours sur les fonctions...
tracking img