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Les fonctions exponentielles
Le chapitre sur les suites géométrique introduit un modèle applicable aux évolutions discrètes (c’est-à-dire régulières et constantes). Citons en exemples les calculs d’intérêts annuels, la dévaluation d’un bien immobilier, la datation au carbone 14, etc. Dans la réalité, ces modèles ont besoin d’être affinés. En effet, le montant présent sur un compte varie durant l’année. Comment calculer les intérêts avec justesse ? La vente d’un bien immobilier n’a pas toujours lieu le 1er janvier. Comment appliquer une dévaluation à une autre date ? Il n’y a pas eu d’extinction massive tous les 5 568 ans. Comment dater les autres périodes au carbone 14 ?
Décroissance exponentielle du carbone 14

Autant de situations où le modèle des suites géométriques ont atteint leur limite…

I. Fonctions exponentielles de base q : Partons de ce que l’on connait : les suites géométriques. Soit q un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite géométrique (qn). Propriété-Définition : Il existe une unique fonction f, appelée fonction exponentielle de base q, qui vérifie : • sa courbe représentative réalise un prolongement continu du nuage de points ; • elle est dérivable sur ℝ ; • quels que soient les réels a et b, on a f (a + b) = f (a)×f (b) (relation fonctionelle). Enfin, son expression est de la forme f (x) = qx.

Exemple : Choisissons q = 1,2. La suite (1,2n) est géométrique de premier terme 1, et de raison 1,2. Les quinze premiers termes sont représentés à gauche (en rouge). Plusieurs courbes continues passent par ces points. Mais une seule est à la fois dérivable et vérifie la relation fonctionnelle, celle tracée présentement en noir sur ]-∞ ; +∞[. La relation fonctionnelle se vérifie grâce aux règles de calcul sur les puissances. En effet : f (a+b) = 1,2a+b = 1,2a×1,2b = f (a)×f (b). 1

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Corollaires de la relation fonctionnelle : Réécrivons la relation fonctionnelle