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  • Publié le : 27 septembre 2010
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Relations d’´quivalence e

´ 1. Definitions D´finitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´flexive si l’on a e (x, x) ∈ R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (3) transitive si l’on a [(x, y) ∈ R] ∧ [(y, z) ∈ R] ⇒ [(x, z) ∈ R] ∀x, y, z ∈ E . • Une relation d’´quivalence sur Eest une relation r´flexive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on note xRy au lieu de (x, y) ∈ R. e e Exemple 1 Soit n un entier relatif non nul. Sur l’ensemble Z on d´finit une relation Rn en posant e xRn y ⇔ n divise y − x . ∀x, y ∈ E , ∀x ∈ E ,

(Lorsque la mention de n en indice sera rendue superflue par le contexte, on l’omettra.) C’est une relationd’´quivalence : e ◦ R´flexivit´ : le nombre 0 est bien divisible par n, on a donc xRx pour tout entier x. e e ◦ Sym´trie : si n divise y − x, il divise aussi x − y. e ◦ Transitivit´ : si n divise y − x, il existe un entier k tel que l’on ait l’´galit´ y − x = kn ; si n divise z − y, il existe un e e e entier l tel que l’on ait l’´galit´ z − y = ln ; l’entier n divise donc aussi z − x puisque l’on a les´galit´s e e e e z − x = (z − y) + (y − x) = kn + ln = (k + l)n .

Exemple 2 Soit E un sous-ensemble de Rn . Notons C 0 (I, E) l’ensemble des applications continues de I := [0, 1] ⊂ R dans E. Alors la relation d´finie par e xRy ⇔ ∃f ∈ C 0 (I, E) f (0) = x, f (1) = y est une relation d’´quivalence. V´rifions-le : e e ◦ R´flexivit´ : Soit x un ´l´ment de E. Alors l’application constante f : I → E d´finiepar f (t) = x montre que l’on a e e ee e xRx pour tout x de E. ◦ Sym´trie : Soient x et y deux ´l´ments de E tels que l’on ait xRy, c’est-` dire tels qu’il existe une fonction continue e ee a f : I → E v´rifiant f (0) = x et f (1) = y. Posons g(t) = f (1 − t). Alors g est continue et l’on a g(0) = y et g(1) = x et e donc yRx. ◦ Transitivit´ : Soient x, y et z trois ´l´ments de E tels que l’on aitxRy et yRz, c’est-` dire tels qu’il existe une fonction e ee a continue f : I → E v´rifiant f (0) = x et f (1) = y et une fonction continue g : I → E v´rifiant g(0) = y et g(1) = z. Soit e e h : I → E la fonction d´finie par e h(x) = h(t) = f (2t) 1 h(t) = g(2t − 2 ) si si t ∈ [0, 1 ], 2 t ∈ [ 1 , 1] 2 .

Cette fonction h est continue (pourquoi ?) et l’on a h(0) = x et h(1) = z et donc xRz. Exemple3 Soit E un ensemble. On rappelle qu’une partition de E est la donn´e P d’un ensemble de sous-ensembles de E tels que e l’on ait l’´galit´ E = ∪P ∈P P et la propri´t´ e e ee ∀P, P ∈ P, [P ∩ P = φ] ⇒ [P = P ] .

Soit P une telle partition d’un ensemble E. Alors la relation R d´finie sur E par e [xRy] ⇔ [∃P ∈ P, est une relation d’´quivalence. R´ciproquement, e e {x, y} ⊂ P ]

2Proposition-D´finitions-Notations 1.2. Soit R une relation d’´quivalence sur un ensemble E. e e • Pour x dans E, on note p(x) le sous-ensemble de E constitu´ des ´l´ments y tels que l’on ait xRy. e ee • Le sous-ensemble pR (x) de E est appel´ classe d’´quivalence de x. Souvent, on ´crit pR (x) = x. L’ensemble des e e e ¯ classes d’´quivalence est not´ E/R et appel´ ensemble quotient de E par R. e e e • Si x et ysont des ´l´ments de E, alors on a l’alternative suivante : ee - soit pR (x) = pR (y), - soit pR (x) ∩ pR (y) = φ. Autrement dit, l’ensemble quotient E/R de E par R est une partition de E. • On appelle projection canonique l’application (surjective) pR : E → E/R. ´ Demonstration : exercice. Exemple 1 (suite) Disons que n est strictement positif, et reprenons la relation R d´crite dans l’exemple 1ci-dessus. L’ensemble quotient e Z/R est en g´n´ral not´ Z/nZ. On a les ´galit´s e e e e e pR (0) pR (1) pR (k) n−1 = = = = ¯ 0 ¯ 1 ¯ k −1 = = = = {. . . , −2n, −n, 0, n, 2n, . . . } {. . . , −2n + 1, −n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, . . . } {. . . , −2n + k, −n + k, k, n + k, 2n + k, . . . } {. . . , −2n − 1, −n − 1, −1, n − 1, 2n − 1, . . . } .

0, l’ensemble quotient Z/nZ = ¯ . . . , n − 1...
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