Maths financiere

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Bac Pro tert

OPÉRATIONS FINANCIÈRES A INTÉRÊTS COMPOSÉS
I) Intérêts et valeur acquise Définition Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif d’intérêts la période suivante. La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de npériodes de placement est égale à :

Cn = C0 (1 + t )
Remarque

n

avec t : taux d’intérêts sur une période

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : i = Cn − C0 Les périodes de capitalisation des intérêts peuvent être le mois, le trimestre, le semestre ou l’année. Le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, … Cn forment une suite géométriquede raison : (1 + t). Les intérêts composés sont surtout utilisés pour des placements à long terme. Exemple Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans. La première année les intérêts se calculent sur le capital C0 = 5000 € : i1 = 5000 × 0, 04 = 200 € La valeur acquise de la première année est : C1 = 5200 € L’année suivante, les intérêts se calculent surle capital C1 = 5200 € : i2 = 5200 × 0, 04 = 208 € La valeur acquise de la deuxième année est : C1 = 5408 € Ainsi de suite, la valeur acquise de la cinquième année est : n C5 = C0 (1 + t ) = 5000 ×1, 045
soit C5 = 6083, 26 € .

II) Calculer le montant d’un capital placé Méthode
Connaître la valeur acquise, le nombre de périodes, le taux périodique. Transformer la formule : n −n Cn = C0 (1 + t) équivaut à C0 = Cn (1 + t )

Cours sur les intérêts composés

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Exemple
Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquise de 5000 € ? Cn = 5000 € ; t = 3,5 % ; n = 5 ans.

C0 = Cn (1 + t )

−n

= 5000 × (1, 035 )

−5

;

soit C0 = 4209,87 € .

III) Calculer un taux de placementMéthode
Connaître le montant du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique. Transformer la formule de capitalisation :

Cn = C0 (1 + t ) équivaut à (1 + t ) =
n
n

Cn C0

 C n soit : 1 + t =  n   C0  Exemple

1

 C n d’où t =  n  − 1 .  C0 

1

Un capital de 20 000 € placé en capitalisation trimestrielle pendant 5 trimestres a une valeur acquise de 21 465,68 €au terme du placement. Calculer le taux trimestriel de placement. C0 = 20 000 € ; C5 = 21 465, 68 € ; n = 5 trimestres.

(1 + t )

5

=

21465, 68 20000
1

 21465, 68  5 où t =   −1  20000  soit t = 0,014 Le taux trimestriel est de 1,4 %.

IV) Calculer une durée de placement Méthode
Connaître le montant du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique. Transformer laformule de capitalisation :

Cn = C0 (1 + t ) équivaut à (1 + t ) =
n
n

Cn C0

Cours sur les intérêts composés

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Utiliser le logarithme népérien (ou décimal) pour déterminer la valeur de n placée en exposant :

ln (1 + t ) = ln
n

Cn C soit n ln (1 + t ) = ln n C0 C0
ln

Cn C0 d’où n = . ln (1 + t )
Exemple
Un capital de 41 000€ placé à intérêts composés à capitalisation mensuelle au taux de 0,5 % le mois. Au terme du placement sa valeur acquise est 44 185 €. Calculer la durée du placement. C0 = 41 000 € ; Cn = 44 185 € ; t = 0,5 % par mois. C 44185 n (1 + t ) = n soit 1, 0055 = C0 41000 44185 ln n = 41000 d’où n = 15. ln1, 005 La durée de placement est de 15 mois.

Remarque
Le nombre n de périodes doit être un entier.Si ce n’est pas le cas, la pratique commerciale admet la généralisation de la formule des intérêts composés à une fraction de période. Ainsi 6,5 mois = 6 mois et 15 jours.

V) Taux équivalents Définition Deux taux, définis sur des périodes différentes, sont équivalentes lorsque appliqués à un même capital pendant la même durée, ils produisent le même intérêt et donc la même valeur....
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