Maths fonctions a valeurs complexes

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  • Publié le : 1 juin 2011
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FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES
1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS.

A) Introduction.

Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ .
A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceuxrelatifs à l’étude des limites en +.
Rappelons en particulier deux résultats essentiels.

_ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée.

_ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l.

Siles principes de base sont identiques, il existe par rapport au cadre général une différence appréciable dans la conduite des calculs pour les suites dites définies de proche en proche.
On ne dispose pas en effet dans ce cas d’un accès direct au terme xn de rang n quelconque par une formule classique de type fonctionnel : n xn= f(n).

Les vérifications de la monotonie, les majorations ouminorations devront être établies le plus souvent à l’aide du principe de récurrence. Certains processus de démonstration se retrouvent alors assez souvent et peuvent être érigés en principes fondamentaux permettant de conclure rapidement la convergence des suites satisfaisants aux schémas généraux correspondants.
Nous allons en décrire deux principaux ne faisant qu’utiliser, sous une formeparticulière, les deux théorèmes essentiels rappelés plus haut.

B) Schéma des suites adjacentes.

Définition : Deux suites à valeurs réelles seront dites adjacentes si et seulement si elles vérifient les trois conditions suivantes :

_ L’une des deux , que l’on appellera suite ‘haute’, majore l’autre, dite suite ‘basse’ .

_ La suite haute est décroissante, la suite basse est croissante.

_ Ladifférence entre les deux suites converge vers 0.

Si an désigne le terme général de la suite dite basse et bn le terme général de l’autre suite, les trois conditions se traduisent alors :

_ n N an  bn . _ n N an  an+1 et bn+1  bn . _ lim+(bn-an)=0

On peut aussi synthétiser cela en écrivant que les segments In=[an, bn] sont emboités les uns dans les autres ( nN In+1  In ) et que la longueur de ces intervalles tend vers 0.

D’ailleurs, dans la pratique :

_ Les vérifications des deux premières propriétés s’effectueront souvent en établissant par récurrence l’inclusion In+1  In .

_ La convergence vers 0 de (bn-an) peut s’établir en justifiant également par récurrence une inégalité du type , avec n terme général d’une suite de limite nulle.Théorème :

Deux suites de réels adjacentes sont nécessairement convergentes, de limites égales.

Démonstration. Soit n0 un entier donné. On vérifie très facilement par récurrence, à l’aide des deux premières propriétés, que pour tout entier n n0 : .
Il s’agît en fait de l’utilisation répétée de l’emboîtement des segments In.
On en déduit que pour tout indice n  n0 , .
Cetteinégalité sera aussi vraie pour n  n0 à cause de la croissance de la suite basse.

Celle ci s’avère alors croissante et majorée par , donc convergente en vertu du théorème de limite monotone, vers le réel l=sup{an ; n N} .

La suite haute est alors minorée par le réel l (car n0 est quelconque dans la majoration précédente) , décroissante, donc convergente vers l’=inf{bn ; n N}  lRemarquons à ce stade que seul le caractère emboîté des In a été utilisé ci dessus et suffit donc pour assurer la convergence des deux suites basse et haute vers des limites respectives l et l’ telles que l  l’.

C’est la troisième hypothèse qui nous permet de conclure la coïncidence de ces limites.
En effet de on déduit immédiatement d’après les règles opératoires classiques sur les...
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