FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES
1) COMPLEMENTS SUR LES SUITES DE REELS.

A) Introduction.

Une suite infinie à valeurs réelles n’est après tout qu’une fonction à valeurs dans R dont l’ensemble de définition est N ou plus généralement une partie du type N[n0 , +[ .
A ce titre, tous les résultats concernant les fonctions de variable et d’image réelles pourront être utilisés, notamment ceux relatifs à l’étude des limites en +.
Rappelons en particulier deux résultats essentiels.

_ Le théorème de limite monotone, assurant la convergence de toute suite croissante majorée et de toute suite décroissante minorée.

_ Le théorème d’encadrement, assurant la convergence vers le réel l de toute suite à valeurs dans R minorée et majorée par deux suites respectives de même limite l.

Si les principes de base sont identiques, il existe par rapport au cadre général une différence appréciable dans la conduite des calculs pour les suites dites définies de proche en proche.
On ne dispose pas en effet dans ce cas d’un accès direct au terme xn de rang n quelconque par une formule classique de type fonctionnel : n xn= f(n).

Les vérifications de la monotonie, les majorations ou minorations devront être établies le plus souvent à l’aide du principe de récurrence. Certains processus de démonstration se retrouvent alors assez souvent et peuvent être érigés en principes fondamentaux permettant de conclure rapidement la convergence des suites satisfaisants aux schémas généraux correspondants.
Nous allons en décrire deux principaux ne faisant qu’utiliser, sous une forme particulière, les deux théorèmes essentiels rappelés plus haut.

B) Schéma des suites adjacentes.

Définition : Deux suites à valeurs réelles seront dites adjacentes si et seulement si elles vérifient les trois conditions suivantes :

_ L’une des deux , que l’on appellera suite ‘haute’, majore l’autre, dite suite ‘basse’ .

_ La suite haute est décroissante, la suite basse est croissante.

_ La