Maths les primitives

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PRIMITIVES
Exercices
1. Montrer que F est une primitive de f sur l’intervalle I. a. I = ]0; +∞[ , f ( x ) = x , F ( x ) = b. I = ℝ , f ( x ) = x − 2 x + 1 , F ( x )
2

2 x x +1 . 3

(

)

( x − 1) =
3

3

.

2. Démontrer, sans calculer les fonctions dérivées, que F et G sont deux primitives sur R de la même fonction.

F (x ) =

1 − x 12 . ; G (x ) = 1 + x 12 1 + x 12

3.Trouver la primitive F de f sur I telle que F ( x0 ) = y 0 . a. f ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 ; I = R, x0 = 1 , y 0 = 0 . b. f (x ) = cos 3 x ; I = R, x 0 = c. f ( x ) = x +

π
2

, y0 = 0 .

1 1 − ; I = ]0; +∞[ , x0 = 1 , y 0 = 1 . 2 x x

4. Applications du tableau de dérivées.
Déterminer une primitive de f sur un intervalle quelconque contenu dans son ensemble de définition (on necherchera pas à préciser cet intervalle).

f1 ( x ) = x3 + 4 x − 1 ;
f 4 ( x ) = ( x − 9) ;
3

f 2 (x ) = x +

1 x

;

f 3 (x ) = 1 −
4

1 ; cos 2 x

1  f 5 ( x ) = 2 1 + x 
;

1  ; x

( f (x ) =
6

x +1 x

)

2

;
3

f 7 (x ) =

(x − 1)2

1

sin x f 8 (x ) = ; cos 2 x

 x  f 9 (x ) =  4  ;  x + 1
f12 ( x ) = tan x + x . cos 2 x

f10 ( x ) =

cosx ; 2 + sin x

f11 ( x ) = x cos x + sin x ;

T5S Primitives

1

03/2011

5. Transformation d’écriture a. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que : x 2 = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c . En
2

déduire une primitive sur R de la fonction f définie par, f ( x ) = x 2 ( x − 1)

1998

.

b. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur ]1;+∞[ par f ( x ) =(Indication : mettre f(x) sous la forme f ( x ) = a +

x2 − 2x

( x − 1)

2

.

b

( x − 1)

2

.)

c. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur ]− 2;+∞[ par

f (x ) =

3x 2 + 12 x − 1

( x + 2)2

.

(Indication : f ( x ) = a +

b

(...)

2

.)

3  d. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur  −∞; −  par 2  3 2 c 4 x + 10 x + 3 x −3 f ( x) = . (Indication : f ( x ) = ax + b + .) 2 2 (...) ( 2 x + 3)

6. Primitives de fonctions trigonométriques.
Primitives des fonctions de la forme sin n x cos m x où m et n sont des entiers naturels. Cas 1 : n et m sont pairs : linéariser. Cas 2 : n ou m est impair : on peut éviter de linéariser grâce à la relation cos2 x + sin 2 x = 1 .

a. Déterminer une primitive F de la fonction fdéfinie sur R par, f ( x ) = cos 4 x sin 4 x .
Même question avec f ( x ) = cos 3 x sin 4 x .

 π b. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur 0;  par,  2 sin x − cos x f (x ) = . (sin x + cos x )2

tan x  π c. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur 0;  par, f ( x ) = . cos 2 x  2 1  π d. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur  0; par, f ( x ) = . 1 − cos x  2

T5S Primitives

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PRIMITIVES
Corrigés
1. a. F ' ( x ) =

2 x  2  3x   x+ =  = x.     3 2 x  32 x  1 2 2 b. F ' ( x ) = × 3(x − 1) × 1 = (x − 1) = x 2 − 2 x + 1 3
1 − (1 + x 12 ) − x 12 1 = = − 1 = F ( x ) − 1 . Les deux fonctions diffèrent d’une 12 12 1+ x 1+ x 1 + x 12 constante, elles sont donc des primitives d’une mêmefonction.

2. G ( x ) =

 x 2 x3 x 4 F ( x) = x − + − + λ  7 x4 x3 x2 7 3. a. F (x ) = − + − +x− . 2 3 4 ⇒λ = − 12 4 3 2 12  F (1) = 0  1  F ( x ) = sin 3 x + λ  1 1 1  3 F ( x ) = sin 3x + . b. ⇒λ = π  3 3 3  F  = 0  2   2  x 1 7 x2 1 7  c. F ( x ) = 2 − x − 2 x + λ  ⇒ λ = F (x ) = − −2 x + . 2 2 x 2  F (1) = 1 
4. f 1 ( x ) = x 3 + 4 x − 1
f 2 (x ) = x + 1 F1 ( x ) =F2 (x ) = x4 + 2x 2 − x . 4

x 1 f 3 (x ) = 1 − cos 2 x
3

x2 +2 x. 2

F3 ( x ) = x − tan x .
F4 (x ) =
4

f 4 ( x ) = ( x − 9)

1 ( x − 9 )4 . 4
5

(u' u )
n

1  1 f 5 ( x ) = 2 1 +  x x 

( f (x ) =
6

x +1 x
1
2

)

1 1 F5 ( x ) = − 1 +  . 5 x
F6 ( x ) = F7 ( x ) = − F8 ( x ) = 2 3

(u' u )
n

2

(

x +1 .
 u'   2 u   u'   2 u ...
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