Exercice : Pour n ∈ N, soient a0, ..., an des nombres réels de même signe tels que pour tout i i ∈ {0,...,n } ai > −1.
Montrer que : (1 + a0)×...×(1 + an) > 1 + a0 + ... + an

Correction : Notons P(n) : « Pour tout réels a0, ...,an de même signe et tels que pour tout i ∈{0,...,n}; ai > −1,on a (1 + a0)×...×(1 + an) > 1 + a0 + ... + an. »

Montrons par récurrence que ∀n ∈N, P(n) est vraie.

• Pour n = 0, soit a0 un réel tel que a0 > −1 on a bien 1 + a0 > 1 + a0, donc P(0) est vraie.

• Soit n ∈ N pour lequel on suppose la propriété vraie.
Soient a0, ...,an+1 des réels de même signe et tels que pour tout i ∈{0,...,n + 1}; ai > −1.
On a (1 + a0)×...×(1 + an)×(1 + an+1) = (1 + a0)×...×(1 + an) +an+1 ((1 + a0)×...×(1 + an)).

Puis par hypothèse de récurrence, on en déduit
(1+a0)×...×(1+an)×(1+an+1) > 1+a0+...+an+an+1 ((1 + a0)×...×(1 + an)).

Comme tous les nombres sont de même signe et supérieurs à −1,
• Si an+1 6 0 on a (1 + a0) × ... × (1 + an) 6 1 donc an+1 ((1 + a0)×...×(1 + an)) > an+1.
• Si an+1 > 0 on a (1 + a0) × ... × (1 + an) > 1 donc an+1 ((1 + a0)×...×(1 + an)) > an+1.

Dans tous les cas 1 + a0 + ... + an + an+1 ((1 + a0)×...×(1 + an)) > 1 + a0 + ... + an + an+1.

Ainsi P(n + 1) est vraie.

Puis par le théorème de récurrence on en déduit que ∀n ∈N, P(n) est