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Révision d’algèbre et d’analyse

Chapitre 1 : Fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. Nombres complexes

Équipe de Mathématiques Appliquées

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Novembre 2009

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Chapitre I Fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. Nombres complexes

I.1 I.2 I.3

Fonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonctions de 2 variables .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

2

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I.1 Fonctions d’une variable réelle

I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10

Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétésdes dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition et calcul Développements limités-applications . . . .. . . . . . . . . .

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Sommaire ConceptsExemples Exercices Documents

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I.1.1 Définition des dérivées
Exercices : Exercice A.1.1 Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 Exercice A.1.4

Soit f une fonction de I dans I On dit que f est continue en x0 si R R. lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Si C est la courbe d’équation y = f (x), si h est un réel non nul, l’expression A(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) h

est égale à la pente de ladroite qui joint les points de coordonnées (x0 , f (x0 )) et (x0 +h, f (x0 +h)). Si A(h) admet une limite quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable (ou différentiable) en x0 . Cette limite s’appelle la dérivée de f en x0 et elle se note f (x0 ). Puisque c’est la limite de la pente de la sécante, f (x0 ) est donc la pente de la tangente à C au point de coordonnées (x0 , f (x0 )). On a donc :f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = lim h→0,h=0 h
Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

4

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y

Définition des dérivées

f(x0 +h)

f(x0 ) x0 x0 +h x

Si une fonction est dérivable en x0 , elle est continue en x0 , la réciproque est fausse, il existe des fonctions continues en x0 qui ne sont pas dérivables en x0 , étudiez l’exercice A.1.1. On vient dedéfinir la notion de dérivée première. Lorsque f est dérivable en tout x, on définit une nouvelle fonction f , on peut alors s’interroger sur la dérivabilité de f . Si f est dérivable on dit que f est 2 fois dérivable, la dérivée de f est notée f et s’appelle dérivée seconde de f . On peut recommencer. Les dérivées successives de f se notent f ou f (1) , f ou f (2) , f ou f (3) , f (4) , f (5) , . . .Traiter l’exercice de TD A.2.1

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

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I.1.2 Propriétés des dérivées
Exercices : Exercice A.1.5 Exercice A.1.6

On a les propriétés suivantes : Si f et g sont 2 fonctions dérivables, si λ est une constante réelle 1. (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2. (λf ) (x) = λf (x) 3. (f g) (x) = f (x)g (x) + f (x)g(x) 4. f g(x) = f (x)g(x) − f (x)g (x) . g 2 (x)

Cette dernière égalité n’est valable que lorsque g(x) = 0. On rappelle la définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique : shx = ex − e−x ex + e−x , chx = . 2 2
Sommaire Concepts

Montrer en exercice les propriétés élémentaires de ces fonctions : 1. ch2 (x) − sh2 (x) = 1,
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