Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S Antilles–Guyane
13 septembre 2012

E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

4 points

→
−
1. La droite D a pour vecteur directeur u (1 ; −1 ; 2) ; le plan P a pour vecteur nor→
−
mal n (1 ; 1 ; 2).
Ces vecteurs ne sont ni colinéaires, ni orthogonaux, donc la droite D et le plan P sont non parallèles et non perpendiculaires.
2. L’équation a est à rejeter : les points de D ont des coordonnées qui ne vérifient pas cette équation.
−
→
Le plan d’équation 2x − z = 0 a pour vecteur normal n ′ (2 ; 0 ; −1).
→ −
− →
Or n · n ′ = 2 + 0 − 2 = 0. Ces deux plans sont bien perpendiculaires.
Comme 2t − 2t = 0 tout point point de D appartient au plan P ′ d’équation
2x − z = 0.

3. Soit M(x ; y ; z) ∈ P ∩ P ′ , 2x − z = 0 étant une équation de P ′ ; donc ses coordonnées vérifient le système :


= t
 x
 x + y + 2z − 1 = 0 x + y + 2z − 1 = 0 y + 2z = 1 − t
2x − z
= 0 ⇐⇒
⇐⇒


2x − z
= 0 z = 2t x = t

x = t

y = 1 − 5t . Réponse c.
⇐⇒
 z = 2t
4. Calculons la distance du centre de la sphère au plan :
|1 − 1 + 0 − 1|
1
d(B ; P ) =
=
≈ 0, 48 < 1 (rayon du cercle).
6
12 + 12 + 22
L’intersection de la sphère et du plan est donc un cercle. Réponse c.

E XERCICE 2
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
1.

5 points

a. On a |zA |2 = 3 + 1 = 4 = 22 ⇒ |zA | = 2.
En factorisant ce module : zA = 2

π
1
π π 3
= 2ei 6 .
+ i = 2 cos + i sin
2
2
6
6

De même |zB |2 = 1 + 3 = 4 = 22 ⇒ |zB | = 2.
3
1
2π
2π
2π
En factorisant ce module : zB = 2 − + i
+ i sin
= 2 cos
= 2ei 3 .
2
2
3
3
b. A appartient au cercle centré en O de rayon 2 et à la droite d’équation y = 1 ;
B appartient au cercle centré en O de rayon 2 et à la droite d’équation x = −1 ;
C se place grâce à son abscisse et son ordonnée. Voir la figure à la fin de l’exercice. c. On a vu que |zA | = 2 = OA = |zB | = 2 = OB : le triangle OAB est isocèle en O.
D’autre part