Maths suites

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  • Publié le : 31 mars 2011
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Suites réelles

Définition
A) Généralités

Soit E un ensemble.
Soit K un intervalle de N (du type [pic] ou [pic]) non vide.
Une suite d’éléments de E indexée par K est une application [pic].
L’ensemble des suites d’éléments de E indexées par K est noté [pic] (c’est aussi [pic])
Dans le cas où [pic], on parle de suites à valeurs réelles, ou suitesréelles. Si [pic], on parle alors de suites complexes.

Pour [pic], l’ensemble des valeurs de la suite est [pic]. On dit qu’une suite est infinie si elle est indexée par un ensemble infini. [pic] est le terme de rang k.
On s’intéresse dans ce chapitre à [pic]

B) Opérations sur les suites réelles

Soient [pic], [pic].
[pic] désigne la suite réelle wdéfinie par :
[pic]
[pic] désigne la suite réelle h définie par :
[pic]
[pic] désigne la suite réelle u’ définie par :
[pic].
"." : loi de composition à opérateur externe : [pic].
[pic] désigne la suite réelle dont tous les termes sont nuls : [pic]. (de même, [pic] ou 1 si il n’y a pas d’ambiguïté.)

Remarque :
Il n’y apas intégrité, c'est-à-dire :
[pic]
Par exemple :
[pic]
Alors [pic], mais [pic] et [pic].

C) Divers modes de définition de suites

• Définition explicite ; donnée, pour chaque [pic], de [pic] en fonction de n (de façon plus ou moins complexe, avec éventuellement des sommes ou des conditions…)
• Définition récurrente :
- récurrence« simple » : [pic] est telle que :
[pic]
(Problème de définition éventuelle, dépend de f. On peut résoudre ce problème par récurrence)
- récurrence « double » :
[pic]
• Définition implicite. Par exemple : « pour [pic], [pic] est la solution réelle positive de l’équation [pic] ».

On peut aussi imaginer d’autres modes de définitions de suites, pluscomplexes…

D) Suite croissante, décroissante…

Soit [pic] une suite réelle.
Définition, proposition :
[pic]
Démonstration :
- Supposons que [pic]. Soit [pic]. Comme [pic], on a bien [pic]
- Supposons que [pic]. Soient [pic]. Si [pic], on a [pic]. Si [pic], alors [pic] (idem si [pic])
[pic]
[pic]
[pic][pic]

E) Suite majorée, minorée…

Soit [pic]
[pic]
[pic]
[pic]

F) Propriétés « à partir d’un certain rang »

Soit [pic]
Exemple : u est croissante à partir du rang 4 si et seulement si [pic].
On définit de même pour les autres propriétés.
Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.

G)Suite extraite

Définition :
Soit [pic], [pic].
On dit que v est extraite de u lorsqu’il existe une application [pic] strictement croissante telle que [pic].
Exemple :
Soit u la suite définie par [pic]. Alors les suites suivantes en sont extraites :
- La suite [pic] est constante et égale à 1.
- La suite [pic] est constante égale à-1.
- La suite [pic] où [pic] qui à 0 associe 0 et à [pic] associe le n-ième nombre premier est stationnaire à partir du rang 2.
- La suite [pic] est égale à la suite u.

Suites convergentes
A) Définition

Soit [pic]. On dit que la suite [pic] est convergente lorsqu’il existe [pic] tel que [pic]

Remarque :
[pic]
« Aussi petit que soit[pic] strictement positif, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite [pic] sont dans l’intervalle [pic] ».

Théorème :
Soit [pic], [pic]
Si [pic] converge vers l et l’, alors [pic].
Démonstration : par l’absurde.
Supposons [pic], par exemple [pic].
Soit [pic] tel que [pic] (ce qui est possible car [pic])
Alors :...
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