MPSI 1 - 2

Corrig´ du devoir en temps libre no 2 e

Exercice 1 : Simplification d’une expression. 1. Smplification par d´rivation. e (a) x appartenant ` R, f est d´finie en x si et seulement si : −1 a e
2

1 − x2 1 + x2 0,

1,

c’est-`-dire : a

1 − x2 1 , soit : (1 − x2 )2 (1 + x2 )2 , soit 4x2 1 + x2 in´galit´ toujours v´rifi´e. e e e e Donc en notant D le domainde de d´finition de f : D = R . e

(b) x appartenant ` D, −x appartient ` D et : a a 1 − x2 1 − (−x)2 = Arccos = f (x) . f (−x) = Arccos 1 + (−x)2 1 + x2 Donc f est paire. L’´tude de f peut donc se poursuivre sur R+ , la courbe repr´sentative de f sera come e pl´t´e par r´flexion d’axe (Oy) . ee e 1 − x2 (c) x appartenant ` R+ , f est d´rivable en les x tels que : −1 a e 1, 1 + x2 soit :4x2 > 0 . Donc f est d´rivable sur R∗ . e + Et pour tout r´el x strictement positif : e f (x) = − d dx 1 − x2 1 + x2 1− =− = 1 1 − x2 1 + x2
2

−2x(1 + x2 ) − 2x(1 − x2 ) (1 + x2 )2
1+x2

(1 + x2 )2 (1 + x2 )2 − (1 − x2 )2 2 1 + x2

4x |1 + x2 | 2 )2 (1 + x |2x|

=
0,x 0

2 . 1 + x2 d 2 = (2Arctan(x)) . (d) Pour tout r´el strictement positif x : f (x) = e 2 1+x dx Il existe donc une constante r´elle C telle que : ∀x ∈ R∗ , f (x) = 2Arctan(x) + C . e + Par ´galit´ des limites en +∞ ( ou par valeur en 1 ou autre chose ... ) : e e π Arccos(−1) = 2 × + C, donc : C = 0 . 2 Donc : ∀x ∈ R∗ , f (x) = 2Arctan(x) . + Donc pour tout r´el strictement positif x : f (x) = e (e) f (0) = Arccos(1) = 0 = 2Arctan(0) . Donc : ∀x ∈ R+ , f (x) = 2Arctan(x) . (f) x appartenant ` R− : a f (x) = −f (−x) = = 2Arctan(−x) f impaire −x 0

Arctan impaire

=

−2Arctan(x) .

Donc : ∀x ∈ R− , f (x) = −2Arctan(x) . f (x) − f (0) Arctan(x) (g) x appartenant ` R∗ : a + =2 −−→ 2 . −− x−0 x x→0+ Donc f est d´rivable ` droite en 0 et : fd (0) = 2 . e a Pour changer, utilisons le th´or`me de limite de la d´riv´e pour l’´tude ` gauche de 0 . e e e e e a ∗ f est continue sur R− , d´rivable sur R− et : e 1/5

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