Maths s 2012
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3 pages
EXERCICE 3: (la constante d’Euler) Partie A
1)
D’une part on a li
et d’autre part, en ettan t les termes de plus haut degréen facteur on a li
. Du coup, par continuité de la fonction logarithme en 1,on déduit que li ln
puis que li 2) D’abord, est dérivable sur
[[
comme produit de fonctions dérivables sur
. Onpeut donc dériver la fonction
:
ln
Pour tout
de
,
donc
donc est croissante sur 3) Grâce à la question 1) on sait que tend vers
en l’infini et grâce à 2 on sait que croît sur
donc pour tout
de
, Partie B
1)
L’algorithe, tel qu’il est présenté renvoie une erreur.
Il manque une instruction« endfor » ou « fin du pour
» pour indiquer à la achine que la boucle s’arrête là. Je ne pense pas que le futur bachelier sera sanctionné s’il a oublié ce « petit » détail.Si
alors
2) Il suffit de recopier l’algorithe et de changer la dernière ligne
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ln
3) Il semblerait que la suite
soit décroissante Partie C
1)
Pour tout
,
∑
ln∑
ln ∑
∑
lnln
ln
On a vu en A)3) que pour tout
de
, donc pour tout
,
Et on conclut que
est décroissante 2) a) On a
car la fonction inverse est décroissante sur
donc en particulier, pour tout
[],
puis, par positivité de l’intégrale auxbornes bien rangées d’une fonction positive, on conclut que∫