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SESSION 2010

MPM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________

MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures ____________________________________________________________

___________________________________

Les calculatrices

sont autorisées. ***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidatest amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

*** Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tousindépendants.
EXERCICE 1

On considère la fonction f de R2 dans R dénie par :
f (x, y) = y4 si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2 et f (0, 0) = 0.

1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déterminera. 2. Démontrer que la fonction f est diérentiable en (0, 0).

EXERCICE 2

1. Rappeler la dénition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectorielnormé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F . Si A est une partie compacte de E , démontrer que f (A) est une partie compacte de F . L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est-elle nécessairement une partie compacte de E ?
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PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS Partie préliminaire

1. (a) Justier que la fonction t → On pose I =0 π

sin t est intégrable sur l'intervalle ]0; π]. t

sin t dt. t


(b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec soin, une suite (uk )k≥0 vériant I =
k=0

(−1)k uk . πn n.n !

2. (a) Démontrer que la suite
+∞

πn n!

converge et que la suite
n≥0

est décroissante.
n≥1

(b) Si Rn =

(−1)k uk , majorer |Rn |, en utilisant laquestion (a).
k=n+1

En déduire, en précisant la valeur de n utilisée, une valeur approchée du réel I à 10−2 π près.

2

Première partie : Phénomène de Gibbs

On considère la fonction f dénie sur R impaire et de période 2π vériant :
f (t) = 1 pour t ∈ ]0; π[ et f (0) = f (π) = 0.

3. On pose pour tout entier naturel n non nul et t réel,
4 sin[(2k + 1)t] Sn (t) = . π k=0 2k + 1
n−1Démontrer, à l'aide d'une série de Fourier, que la suite de fonctions (Sn )n≥1 converge simplement vers la fonction f sur R. La convergence est-elle uniforme sur R ? 4. Sur un même graphique, uniquement à l'aide d'une calculatrice, tracer sur l'intervalle − ; π 2 la courbe de la fonction f et l'allure de la courbe de la fonction S10 . Puis sur un autre π graphique, tracer sur l'intervalle − ; πla courbe de la fonction f et l'allure de la courbe 2 de la fonction S20 . Que constate-t-on sur les courbes des fonctions Sn lorsque t se rapproche de 0 par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures ? Cette particularité est appelée phénomène de Gibbs. 5. On pose pour n entier naturel non nul et t réel,
n−1

π

Tn (t) =
k=0

sin[(2k + 1)t].

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(a) Démontrer que ∀n ∈ N∗ , ∀t∈ R

πZ, Tn (t) = sin2 (nt) . sin t

Dans la suite de cette question 5., on considère deux nombres réels a et b tels que a < b et [a, b] ⊂ 0; π . 2 (b) Justier qu'il existe une constante M telle que pour tout entier naturel n non nul et tout t ∈ [a, b], Tn (t) ≤ M . (c) Démontrer que l'on peut trouver une suite de réels (wn ) convergeant vers 0 et telle que pour tout entier naturel n non nul ettout t ∈ [a, b], |f (t) − Sn (t)| ≤ wn . En commençant par observer que sin[(2k + 1)t] = Tk+1 (t) − Tk (t), on pourra chercher à majorer, pour tout couple (n, p) d'entiers naturels non nuls et tout t ∈ [a, b], |Sn+p (t) − Sn (t)|. Que peut-on en déduire concernant la série de Fourier de la fonction f ? 6. (a) Calculer Sn (t) pour tout t ∈ 0; π et déterminer la plus petite valeur αn qui...
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