SESSION 2010

MPM1002

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________

MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures ____________________________________________________________

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Les calculatrices

sont autorisées. ***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

*** Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
EXERCICE 1

On considère la fonction f de R2 dans R dénie par : f (x, y) = y4 si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2 et f (0, 0) = 0.

1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déterminera. 2. Démontrer que la fonction f est diérentiable en (0, 0).

EXERCICE 2

1. Rappeler la dénition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé. 2. Soit E et F deux espaces vectoriels normés, et f une application continue de E dans F . Si A est une partie compacte de E , démontrer que f (A) est une partie compacte de F . L'image réciproque par f d'une partie compacte de F est-elle nécessairement une partie compacte de E ?
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PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS Partie préliminaire

1. (a) Justier que la fonction t → On pose I =
0 π

sin t est intégrable sur l'intervalle ]0; π]. t

sin t dt. t
∞

(b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec soin, une suite (uk )k≥0 vériant I = k=0 (−1)k uk . πn n.n !

2. (a) Démontrer que la suite
+∞

πn n!

converge et que la suite n≥0 est décroissante. n≥1 (b) Si Rn =

(−1)k uk , majorer |Rn |, en utilisant la