PSI∗ Lycée Jean Perrin

Colles maths du 13 décembre
Espaces préhilbertiens réels et euclidiens

Révisions suites et séries de fonctions

E est un R-espace vectoriel

1 Produit scalaire
1.1 Formes bilinéaires symétriques
1.1.1 Dénition

Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques

1.1.2 Formes bilinéaires positives

Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo)

1.2 Formes quadratiques
1.2.1 Dénition

Structure d'espace vectoriel pour l'ensemble des formes quadratiques(fq)
1.2.2 Polarisation

Th : Si Φ est une forme quadratique, il existe une unique fbs φ associée à Φ (forme polaire) ;identité de polarisation Th : Soit Φ : E → R ; Φ est une fq 1 ⇔ L'application φ : (x, y) → [Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)] est une fbs sur E et 2 φ(x, x) = Φ(x) 1 ⇔ L'application φ : (x, y) → [Φ(x + y) − Φ(x − y)] est une fbs sur E et φ(x, x) = 4 Φ(x) Identité du parallélogramme
1.2.3 Formes quadratiques positives et dénies positives

Dénition
1

1.3 Produit scalaire
1.3.1 Dénitions

Produit scalaire(ps), espaces préhilbertiens réels (phr) et euclidiens Exemples : ps canonique sur Rn , sur Mn (R), tr(t AB) ; sur C 0 ([a, b], R), (f, g) =
1.3.2 Norme et distance euclidienne

b a

fg

Inégalité de Minkowski, cas d'égalité

1.4 Orthogonalité
(E, ( | )) phr
1.4.1 Dénitions

Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore
1.4.2 Sous-espaces orthogonaux

Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E

F ∩ F ⊥ = {0}, F ⊂ (F ⊥ )⊥ , {0}⊥ = E , E ⊥ = {0}(démo)
Si F et G sont supplémentaires orthogonaux, G = F ⊥ et F = (F ⊥ )⊥ (démo) Dénition d'un projecteur orthogonal Th (isomorphisme) : Si F est un espace euclidien, l'application x → (x|•) est un