Première S4 Devoir surveillé n°4 - Correction

Année 2009 – 2010 Mardi 15 décembre (2h)

Exercice n°1 : 1. Question de connaissances : Propriété d’homogénéité du barycentre On suppose que k est un réel non nul. On a alors, pour α + β ≠ 0 : G barycentre de ( A; α ) et (B; β ) équivaut à G barycentre de ( A; kα ) et (B; kβ ) . (Autrement dit, on ne change pas le barycentre de deux points pondérés lorsqu’on multiplie les coefficients par un même nombre réel non nul.) Soient A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm. 2. Comme 3 + 5 ≠ 0, on peut en déduire que le barycentre G1 de ( A;3) et (B;5) existe.
On a : 3G1 A + 5G1 B = 0 et donc : 3G1 A + 5 G1 A + AB = 0 soit 8G1 A = −5 AB . 5 On obtient : AG1 = AB . 8 75    50  3. Déterminer et construire, s’il existe, le barycentre G2 de  A;−  et  B;  revient grâce à la 13    13  propriété d’homogénéité (en multipliant chaque coefficient par 13) à chercher le barycentre G2 de ( A;−75) et (B;50) et même (en divisant chaque coefficient par 25) à chercher le barycentre G2 de ( A;−3) et (B;2) . Comme − 3 + 2 ≠ 0 , on peut en déduire que le barycentre G2 de ( A;−3) et (B;2) existe.
On a : − 3G2 A + 2G2 B = 0 et donc : − 3G2 A + 2 G2 A + AB = 0 soit − G2 A = −2 AB . On obtient : AG2 = −2 AB 4. Déterminer et construire, s’il existe, le barycentre G3 de ( A;−1000) et (B;5000) revient grâce à la propriété d’homogénéité (en divisant chaque coefficient par 1000) à chercher le barycentre G3 de Comme − 1 + 5 ≠ 0 , on peut en déduire que le barycentre G3 de ( A;−1) et (B;5) existe. On a : − G3 A + 5G3 B = 0 et donc : − G3 A + 5 G3 A + AB = 0 soit 4G3 A = −5 AB ou 4 AG3 = 5 AB . 5 On obtient : AG3 = AB . 4 Exercice n°2 : Dans chacun des cas suivants, déterminons, s’ils existent, α et β tels que P soit le barycentre de ( A; α )

(

)

(

)

( A;−1) et (B;5) .

(

)

et (B; β ) :

1. − 3PB + 2 AP = 2 AB ⇔ − 3PB + 2 AP = 2 AP + PB

(

)

⇔ − 3PB + 2 AP = 2 AP + 2 PB ⇔ − 3PB + 2 AP − 2 AP − 2 PB = 0 ⇔