Exercice 1
1) a)
ln x = 0 Û x = 1 ; ln x > 0 Û x > 1 ; ln x < 0 Û x < 1 (la fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; + ¥[ ).

1- ln x = 0 Û lnx = 1 Û x = e ; 1- ln x < 0 Û lnx > 1 Û x > e ;
1- ln x > 0 Û lnx < 1 Û x < e (la fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; + ¥[ ).

On en déduit le tableau de signes suivant : x 0 1 e +¥ signe de ln x - 0 + + signe de 1- ln x + + 0 - signe de
(ln x)(1- ln x) - 0 + 0 -
b) Pour étudier la position relatives des courbes C et C’ sur ]0 ; + ¥[ , il suffit d’étudier le signe de f (x) - g (x) sur cet intervalle.
Or ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 f x - g x = ln x - ln x = ln x 1- ln x ; alors on en déduit, d’après la question précédente que :
· sur ]0 1[ È]e ; + ¥[
;
, la courbe C est en dessous de C’ ;
· sur ]1 e[
;
, la courbe C est au dessus de C’ ;
· si x = 1 et x = e , les courbes C et C’ se coupent.
2) a) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ¥[ et la fonction x ֏ x2 est dérivable sur R, alors la fonction g est dérivable sur ]0 ; + ¥[ en tant que composée de deux fonctions dérivables. Donc, la fonction h est dérivable sur ]0 ; + ¥[ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + ¥[ .
Soit x un réel strictement positif, ( ) ( )1 1 2 1 1 2ln
2 ln x h x x x x x
¢ = - ´ ´ - = - .
Comme x est strictement positif, alors le signe de h¢(x) dépend de celui de (1- 2ln x) .
Or
1
2 1
1 2ln 0 ln e e
2
- x = Û x = Û x = = ;
1
1 2ln 0 ln e
2
- x > Û x < Û x < ;
1
1 2ln 0 ln e
2
- x < Û x > Û x > (la fonction ln étant strictement croissante sur
]0 ; + ¥[ )