EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats) On considère les deux courbes (C1 ) et (C2 ) d’équations respectives y = ex et y = −x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2 ). 2. On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d’abscisse a de la courbe (C1 ) et par B le point d’abscisse b de la courbe (C2 ). a) Déterminer une équation de la tangente (TA ) à la courbe (C1 ) au point A. b) Déterminer une équation de la tangente (TB ) à la courbe (C2 ) au point B. c) En déduire que les droites (TA ) et (TB ) sont confondues si et seulement si les réels a et b sont solutions du système (S) : ea = −2b . ea − aea = b2 − 1 d) Montrer que le système (S) est équivalent au système (S ) : ea = −2b . e2a + 4aea − 4ea − 4 = 0 3. Le but de cette question est de prouver qu’il existe un unique réel solution de l’équation (E) : e2x + 4xex − 4ex − 4 = 0. Pour cela, on considère la fonction f définie sur R par : f (x) = e2x + 4xex − 4ex − 4. a) Montrer que pour tout réel x appartenant à ] − ∞ ; 0[, e2x − 4 < 0 et 4ex (x − 1) < 0. b) En déduire que l’équation (E) n’a pas de solution dans l’intervalle ] − ∞ ; 0[. c) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[. d) Démontrer que l’équation (E) admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; +∞[. On note a cette solution. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de a. 4. On prend pour A le point d’abscisse a. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 du réel b pour lesquels les droites (TA ) et (TB ) sont confondues.

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FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie) Annexe1 (Exercice 3, question 1)

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