2 heures

Première
Exercice I. a) lim d) lim Exercice II. x→ +∞

S

Contrôle de

Mathématiques
Calculs de limites suivantes

( x − 1) 2
1−2x
2

b) lim

x −1 x +3 −2

x→1

1 c) lim 3 − x sin   x→0 +  x f) lim x 2 + 2x − 3 2 x 2 + 3x − 9 x → −3

x → 1+

1 1 − 2 x −1 x −1

1 2   (x − 2 ) e) lim  − x → + ∞ x x  

ax ² + bx + c et (C) sa courbe représentative dans x−2 un plan muni d’un repère orthonormal. Déterminez a, b, c pour que (C) ait les propriétés suivantes : § (C) passe par le point A(0 ; 5) § la tangente à (C) au point A est parallèle à l’axe des abscisses ; § la tangente à (C) au point B d’abscisse 1 a pour coefficient directeur – 3. Etudier les variations de la fonction f ainsi obtenue. Tracer (C). Soit f la fonction définie sur R- {2} par : f (x) =
Exercice III.

Soit h la fonction définie par h ( x ) =

x 1 + ; Γ sa courbe représentative et ∆ 4 x2

x . 4 a) Etudier la fonction h , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à Γ au point d’abscisse 2. b) Montrer que ∆ est asymptote de Γ. c) Représenter Γ et ∆ sur un même graphique (unité 2 cm). la droite d’équation y = x2 + x − 6 Exercice IV. Soit la fonction f définie sur R – {−2 ; 5}, par : f(x) = 2 . x − 3x − 10 b c 1. Montrer que, pour tout x de R – {−2 ; 5}, f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = a + + , où a, b et c x +2 x −5

sont des réels à déterminer. 2. Étudier les variations de f ; dresser son tableau de variation. On précisera les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 3. Soit C la courbe représentative de f, dans un repère orthonormal (O ; i , j ) d'unité 1 cm. 3.a. Montrer que C possède trois asymptotes dont on donnera une équation. 3.b. Étudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale. Préciser en particulier les coordonnées du point I, où C coupe son asymptote horizontale. 3.c. Déterminer l'équation réduite de la droite T, tangente à C au point I. 3.d. T coupe C en un point J.