Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 1. On considère la suite (un ) définie par :

4 points

1 u0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + 4. 3 On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = un − 6. a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n . Quelle est la nature de la suite (v n ) ? 1 n + 6. b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, un = −5 3 c. Étudier la convergence de la suite (un ). 2. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1: nw n = (n + 1)w n−1 + 1 et w 0 = 1. Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w0 1 w1 3 w2 5 w3 7 w4 9 w5 11 w6 13 w7 15 w8 17 w9 19

a. Détailler le calcul permettant d’obtenir w 10 . b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Donner la nature de la suite (w n ). Calculer w 2 009 .

E XERCICE 2 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = ln 1 + xe−x .

6 points

On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). PARTIE I 1. Justifier que lim f (x) = 0. x→+∞ 2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f ′ (x) est celui de 1− x. 3. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. PARTIE II Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose A (λ) = de majorer A (λ) à l’aide de deux méthodes différentes. λ 0

f (x)dx. On se propose

Baccalauréat S

A. P M. E. P . .

1. Première méthode a. Représenter, sur l’annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l’aire en unité d’aire, est égale à A (λ). b. Justifier que pour tout nombre réel λ