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Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 1. On considère la suite (un ) définie par :

4 points

1 u0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + 4. 3 On pose, pour tout nombre entier naturel n, v n = un − 6. a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v n+1 en fonction de v n . Quelleest la nature de la suite (v n ) ? 1 n + 6. b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, un = −5 3 c. Étudier la convergence de la suite (un ). 2. On considère la suite (w n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1: nw n = (n + 1)w n−1 + 1 et w 0 = 1. Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w0 1 w1 3 w2 5 w3 7 w4 9 w5 11 w6 13 w7 15 w8 17 w9 19

a.Détailler le calcul permettant d’obtenir w 10 . b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Donner la nature de la suite (w n ). Calculer w 2 009 .

E XERCICE 2 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = ln 1 + xe−x .

6 points

On note f ′ lafonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. La courbe C est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). PARTIE I 1. Justifier que lim f (x) = 0.
x→+∞

2. Justifier que pour tout nombre réel positif x, le signe de f ′ (x) est celui de 1− x. 3. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle[0 ; +∞[. PARTIE II Soit λ un nombre réel strictement positif. On pose A (λ) = de majorer A (λ) à l’aide de deux méthodes différentes.
λ 0

f (x)dx. On se propose

Baccalauréat S

A. P M. E. P . .

1. Première méthode a. Représenter, sur l’annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l’aire en unité d’aire, est égale à A (λ). b. Justifier que pour tout nombre réel λstrictement positif, A (λ) 2. Deuxième méthode a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties λ.
λ 0

λ× f (1).

xe−x dx en fonction de

b. On admet que pour tout nombre réel positif u, ln(1 + u) u. Démontrer alors que, pour tout nombre réel λ strictement positif, A (λ) −λe−λ − e−λ + 1. 3. Application numérique Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de A (5), arrondi aucentième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où λ = 5 ?

E XERCICE 3 Commun à tous les candidats I. Cette question est une restitution organisée de connaissances. On rappelle que si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que p n n! . = p!(n − p)! p

5 points

n alors

Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier natun n −1 n −1 rel p telsque 1 p n on a : = + . p p −1 p II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac. 1. a. On note A l’évènement « obtenir deux jetons blancs ». 7 . 15 b. On note B l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité de B. Démontrer que laprobabilité de l’évènement A est égale à c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? 2. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de’ jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. a. Déterminer la loi de probabilité de X . b. Calculer l’espérance mathématique de X .

E XERCICE 4 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

5 points

→ → − − Dans le plancomplexe muni d’un repère orthonormal direct O, u , v , on associe à tout point M d’affixe z non nulle, le point M ′ milieu du segment [M M1 ] où M1 est 1 le point d’affixe . z Le point M ′ est appelé l’image du point M.
France

2

23 juin 2009

Baccalauréat S

A. P M. E. P . .

1.

a. Montrer que les distances OM et OM1 vérifient la relation OM ×OM1 = 1 → −− − −→ → −− − −→ et que...
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