20 Septembre 2007. DS n°1 de Mathématiques. TS1 et TS2. durée : 4h CALCULATRICE INTERDITE.

EXERCICE 1 – 4 points Soit f la fonction définie par f(x) = 8x² - x + 1 , Cf sa courbe représentative. 4x² + 1

1. Déterminer le domaine I de f. 2. a. Démontrer l’existence d’une asymptote horizontale D à Cf en l’infini. c. Déterminer une valeur approchée de f(200), en justifiant votre réponse. b. Déterminer les positions relatives de D et Cf . La courbe croise t-elle son asymptote ? 3. Dresser le tableau de variations de f sur I. 4. Déterminer enfin l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 0.

EXERCICE 2 – 4 points On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4

3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u = t + w où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique. 5. Calculer Tn = t0 + t1 + … + tn et Wn = w0 + w1 + … + wn. En déduire Un = u0 + u1 + … + un .

EXERCICE 3 – 3 points Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes : justifier les affirmations vraies par un résultat du cours, les fausses à l’aide d’un contre-exemple (les graphiques sont acceptés). Une mauvaise réponse ou une mauvaise justification sera pénalisée. 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a. f est forcément positive sur I ou négative sur I. b. Si f est strictement croissante, alors elle tend vers + ∞ . c. Si f ’(1) = 0 alors Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses. 2. Soit (un) une suite définie pour tout naturel n. a. Si (un) est bornée alors elle est convergente. b. Si (un) est décroissante alors elle est majorée. c. Si un+1 = f(un) où f est une fonction croissante alors (un) est croissante.

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