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COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e

Les ´quations du second degr´ e e
Factorisation
Ce cours porte exclusivement sur la notion de factorisation relative aux ´quations du second degr´. e e

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L’id´e g´n´rale e e e

Une ´quation du second degr´ a une inconnue x est une ´quation de la e e` e forme ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R. u

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2.1La th´orie e
La factorisation

Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. Cette ´quation est factorisable lorsque son discriminant v´rifie : ∆ ≥ 0. Soient e e alors x1 et x2 les racines de l’´quation. La factorisation de l’´quation s’´crit e e e (x − x1 )(x − x2 ) = 0.

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Attention !

Il est inutile d’entreprendre la factorisation d’une´quation du second e degr´ avant de v´rifier que cette ´quation a au moins une racine r´elle. e e e e Pour cette raison, il s’av`re essentiel de calculer son discriminant ∆ pour e en connaˆ le signe. ıtre

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4.1

Exercices pratiques
Exercice 1
Factoriser l’´quation du second degr´ (7x − 2)2 = 4. e e

Avant de factoriser l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles sime eplifications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression ne peut pas a priori ˆtre e ee e simplifi´e. e L’observation de cette expression permet de reconnaˆ une identit´ remarıtre e quable, en effet : (7x − 2)2 = 4 (7x − 2)2 − 4 = 0 (7x − 2)2 − 22 = 0 On applique alors la formule correspondante, pour obtenir : (7x − 2 + 2)(7x − 2 − 2) = 0 7x(7x − 4) = 0 x(7x − 4) = 0 La factorisation de l’´quation du seconddegr´ (7x − 2)2 = 4 s’´crit donc e e e x(7x − 4) = 0.

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5.1

Exercices pratiques
Exercice 2
Factoriser l’´quation du second degr´ (5 − x)2 − (2x − 4)2 = 0. e e

Avant de factoriser l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles sime e plifications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression ne peut pas a priori e ee ˆtre simplifi´e. L’observation de cette expression permet de reconnaˆune e e ıtre identit´ remarquable, mais cette fois, on va d´velopper l’expression afin de e e l’´crire sous la forme ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R. e u (5 − x)2 − (2x − 4)2 = 0 25 − 10x + x2 − (4x2 − 16x + 16) = 0 25 − 10x + x2 − 4x2 + 16x − 16 = 0 −3x2 + 6x + 9 = 0 x2 − 2x − 3 = 0 Il s’agit alors de calculer le discriminant ∆ de cette ´quation du second degr´. e e ∆ = b2 − 4ac ∆ =(−2)2 − 4 × 1 × (−3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16 Le discriminant v´rifie ∆ > 0, donc l’´quation consid´r´e est factorisable. e e ee Deux m´thodes sont alors possibles : e – calculer les racines x1 et x2 de l’´quation a partir du discriminant ∆, e ` pour ensuite ´crire la factorisation (x − x1 )(x − x2 ) = 0 ; e

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– chercher une racine ´vidente α de l’´quation, pour ensuite mettre (x−α) e e en facteur etcalculer le second terme de la factorisation. Pour des raisons p´dagogiques, on privil´gie ici la seconde m´thode. e e e On constate que le r´el −1 est une racine ´vidente de l’´quation. Par cons´e e e e quent, la factorisation revient a mettre (x + 1) en facteur. ` x2 − 2x − 3 = 0 ⇐⇒ (x + 1)(ax + b) = 0 x2 − 2x − 3 = 0 ⇐⇒ ax2 + (a + b)x + b = 0 Les r´els a et b sont obtenus directement paridentification : a = 1 et b = −3. e La factorisation de l’´quation du second degr´, (5 − x)2 − (2x − 4)2 = 0 s’´crit e e e donc (x + 1)(x − 3) = 0.

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5.2

Exercice 3

Factoriser l’´quation du second degr´ 2x2 − x − 1 = 0. e e Avant de factoriser l’´quation, il faut s’interroger sur d’´ventuelles simplie e fications de l’´quation consid´r´e. Ici, l’expression ne peut pas ˆtre simplifi´e. e ee e eIl s’agit alors de calculer le discriminant ∆ de cette ´quation du second degr´. e e ∆ = b2 − 4ac ∆ = (−1)2 − 4 × 2 × (−1) ∆=1+8 ∆=9 Le discriminant v´rifie ∆ > 0, donc l’´quation consid´r´e est factorisable. e e ee Deux m´thodes sont alors possibles : e e ` – calculer les racines x1 et x2 de l’´quation a partir du discriminant ∆, pour ensuite ´crire la factorisation (x − x1 )(x − x2 ) = 0...
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