Activit´ de math´matiques (correction) e e

Vecteurs et Centre de Gravit´ (premi`re partie) e e

Probl`me 1 e
1. La figure est la suivante :

A K G B C J

I G′

2. Le point I est le milieu du segment [BC] et le point I est le milieu du segment [GG′ ] car G′ est le sym´trique de G par rapport ` I. Les diagonales du quadrilat`re BGCG′ se coupent e a e en leurs milieux et c’est donc un parall´logramme. D’apr`s la r`gle du parall´logramme : e e e e − → −→ − −′ − − → GG = GB + GC. 3. G est le centre de gravit´ du triangle ABC donc GA = 2GI, on en d´duit donc que e e −→ − − → − → → ′ ] donc GG′ = 2− GA = −2GI. De plus I est le milieu du segment [GG GI. On a donc −→ − − → montr´ que GA = −GG′ . e − → −→ − − − → − − → 4. En utilisant les r´sultats des deux questions pr´c´dentes soit GA = −GG′ et GB + GC = e e e −→ − GG′ , on obtient : −→ −→ − − − − → −→ − − − → → GA + GB + GC = −GG′ + GG′ = 0

1/2

Activit´ de math´matiques (correction) e e

Vecteurs et Centre de Gravit´ (premi`re partie) e e

Probl`me 2 e
1. La figure est la suivante :

M B M′ I C

2. On montre de la mˆme fa¸on que dans le probl`me 1 que le quadrilat`re BM CM ′ est un e c e e −→ − → −→ − − ′ − − −→ − parall´logramme, on en d´duit que M B + M C = M M = 2M I. e e 3. En utilisant la question pr´c´dente : e e − → −→ − − − → − → − → − → − → 2GA + GB + GC = 2GA + 2GI = 2(GA + GI) − → − → − → Le point G cherch´ v´rifie donc GA + GI = 0 , c’est le milieu du segment [AI]. e e

Probl`me 3 e
Soient I,J,K les milieux des cˆt´s d’un triangle ABC, on consid`re les sym´triques G1 ,G2 ,G3 oe e e du point G par rapport ` ces points : a A G3 G2 K G B G1 I C J

− → −→ − −→ − On d´montre de la mˆme fa¸on que dans les probl`mes pr´c´dents que GA + GB = 2GK et e e c e e e −→ − − − → − → GB + GC = 2GI d’o` : u − → −→ − −→ − −→ − − → − − → GA + 2GB + 3GC = 2GK + 2GI + 2GC On cherche donc le point G qui v´rifie : e −→ − − → − − → − → GK + GI + GC = 0 C’est le centre de gravit´ du triangle KIC. e

2/2