Classe de sde 1

Corrigé Devoir à la maison.

La fourmi…

Une fourmi alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa convoitise. Ce cube a pour côté 3 cm. Le sucre se trouve en S milieu de [ A'D' ] et la fourmi sur
[ BB' ] en M tel que : BM =

1
BB'.
3

Sur chacune des faces du cube, la fourmi se déplace en ligne droite et il s'agit donc de trouver en quel point N elle doit couper l'arête [A'B'] pour que la longueur du trajet MN + NS soit la plus petite possible.

Une solution par observation de la courbe d’une fonction.
On note x = B'N.
1. Justifie que x appartient à [ 0 ; 3 ] .
2. Quelle est la nature du triangle MB'N ? Exprime la longueur MN en fonction de x.
3. Exprime la longueur A'N en fonction de x.

Quelle est la nature du triangle NA'S ? Exprime la longueur NS en fonction de x.
4. En déduire la longueur totale L(x) du trajet en fonction de x. est :
L(x) = +
5. Voici la courbe représentative de la fonction L(x) sur [ 0 ; 3 ].
Par lecture graphique détermine une valeur approchée de la longueur minimal du trajet et de la valeur de x pour laquelle elle est atteinte.

Remarque :

Si tu as une calculatrice graphique, tu peux aussi entrer la

fonction dans l’éditeur de fonctions de ta calculatrice, tracer sa courbe représentative et à l'aide de la touche Trace, retrouver la valeur minimale.
6. En quel point la fourmi doit-elle traverser l'arête [ A' B' ] ?

Une résolution géométrique.
On ouvre le cube (figure ci-contre).
1. Représente le patron en vraie grandeur sur une feuille.
2. Repère sur le patron les faces ABCD, ABB’A’ et A’B'C’D’.
Place alors les points M et S .
3. Quel est, sur ce patron, le plus court chemin de M à S ? Trace le et déduis en la position de N sur [A'B'].
4. Détermine par le calcul la longueur x = B'N correspondante.
5. Compare avec le résultat trouvé à la partie précédente.

S. Baudet

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