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Terminale S1 Mercredi 30 septembre

DEVOIR SURVEILLE N°1
La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants.
Une grande part de la notation sera accordée à la rédactionet aux justifications données (plutôt qu'au résultat lui-même).
Le barème est donné à titre indicatif pour vous aider à gérer votre temps.

Exercice 1 : (4 points)

Soit ( un réelpositif.
Démontrer l’inégalité (1 + ()n 1 + n( pour tout entier naturel n.

Exercice 2 : (2 points)
Soit n , étudier la limite suivante : 0))

Exercice 3 : ( 5 points)
Onconsidère la fonction f définie sur de la façon suivante : f(x) = – 2 ; – x si – 2 < x – 1 ; x² si –1< x 0 ; 0 si x > 0))
1. Etude de f en –2

a.Etudier les limites de f en – 2 à gauche et à droite.
b. La fonction f est-elle continue en –2 ?

2. Etude de f en –1.

a. Démontrer que la fonction f estcontinue en –1.

3. Faire une esquisse de la représentation graphique de f sur [ –4 ;4]

Exercice 4 : (4 points)

a. Etudier la limite éventuelle de  h : x ) sin ) en +b. Montrer que la droite D d’équation y = x + 3 est asymptote à la courbe représentative de la fonction

g : x ) en +

Exercice 5 : (5 points)

1. Soit f lafonction définie sur [0 ; +[ par f(x) = + 2x − 4

a. Etudier, sans utiliser de dérivée, les variations de f.

b. Justifier que la fonction f s’annule exactement une fois surl’intervalle [0 ; +[.

2. a. Résoudre algébriquement l’équation + 2x – 4 = 0

Question ouverte (hors barème, à traiter uniquement si vous avez le temps) :

f est une fonction continue surun intervalle I. La classe vient de démontrer qu’elle ne s’annule pas sur I. Omar affirme alors qu’elle garde nécessairement un signe constant sur I. Que penser de son affirmation ?
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