Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière :

SMI - SM & SMP - SMC Module : M6 NOTES de cours

Chapitre 3 COURBES PARAMETREES PLANES
Par Alami Idrissi Ali El Hajji Saïd Hakam Samir

htttp ://www.fsr.ac.ma/ANO/

Année 2005-2006

Chapitre 3 COURBES PARAMETREES PLANES
3.1 Dénitions
→ → − − 1. P le plan muni du repère orthonormé (0, i , j )
2. I un intervalle de R : I ⊂ R. I I 3. f et g deux fonctions numérqiues dénies dans I , que l'on suppose assez régulières (minimum continues). Soient :

−→ − → − → − Pour tout M ∈ P, on pose OM = x i + y j et on note M = M (x, y) = M

x y

. (x, y) d'un Dénition 3.1.1

: Une courbe paramétrique plane

Γ

est l'ensemble des positions

M (x, y) , M ∈ P , dont les coordonnées sont des fonctions paramètre t : M = (x(t), y(t)). Si ce paramètre est le temps, il s'agit alors de la trajectoire du point. On pose : prises par un point

Γ = {M (x, y) ∈ P : x = x(t) et y = y(t) où t décrit I, I ⊂ R} I
Une courbe paramétrée plane est une application

Γ : D ⊂ P −→ R2 où D = {(x(t), y(t)) : t ∈ I ⊂ R} I I
La donnée de Γ est équivalente à la donnée de deux fonctions réelles de variable réelle f et g dénies sur I = Df ∩ Dg telles que pour tout t ∈ I on ait pour tout M ∈ P,

− → → − → − 0M (t) = f (t) i + g(t) j
On dit alors que Γ est décrite par les équations :   x = f (t)  y = g(t)   t∈I =D ∩D f g 2

t ∈ I , s'appelle le paramètre. Par abus de notation , on pose (on note) : M ∈ Γ ⇔ ∃ t ∈ I : M (t) ∈ Γ − → → − → − ⇔ ∃ t ∈ I : 0M (t) = f (t) i + g(t) j − → → − → − ⇔ ∃ t ∈ I : 0M (t) = x(t) i + y(t) j

3.2 Exemples
3.2.1 Droite

→ → − − Si la représentation d'une courbe Γ, dans un répére orthonormé (O; i , j ) est   x(t) = αt + a  y(t) = βt + b   t ∈ I ⊂R I
Si de plus I = R alors Γ est une droite de vecteur directeur (α, β) passant par le point I A(a, b). Si de plus I ⊂ R alors Γ est