F.III-12

F.III. Processus de diffusion L’intégrale stochastique permet de donner un sens à l’équation intégrale :
X t = X 0 + ∫ µ ( s, X s )ds + ∫ σ ( s, X s )dWs
0 0 t t

dont une solution est appelée un processus de diffusion. On écrit souvent l’équation ci-dessus sous sa forme différentielle plus compacte : dX t = µ (t , X t ) dt + σ (t , X t )dWt

appelée équation différentielle stochastique.

La partie

µ (t , X t )

est appelée

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drift

ou terme de tendance

et correspond à la moyenne instantanée. La partie σ (t , X t ) est appelée volatilité ou terme de diffusion et correspond à l’écart-type instantané. Exemples d’utilisation en finance:

1) Mouvement brownien géométrique Il est utilisé dans le modèle de BlackScholes (1975) d’évaluation d’option pour modéliser l’évolution du prix de l’action : dSt = mSt dt + sSt dWt .

2) Processus d’Ornstein-Uhlenbeck Il est utilisé dans le modèle de Vasicek (1979) de structure par terme des taux
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d’intérêt pour modéliser l’évolution du taux court instantané rt : drt = b(a − rt )dt + sdWt .

3) Processus racine carrée Il est utilisé dans le modèle de CoxIngersoll-Ross (1985) de structure par terme des taux d’intérêt pour modéliser l’évolution du taux court instantané rt : drt = b(a − rt )dt + s rt dWt .

La discrétisation d’Euler
X t + h − X t = µ (t , X t )h + σ (t , X t ) hε t + h ,

ε t + h ~ N (0,1)

correspond à la discrétisation de
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dX t = µ (t , X t ) dt + σ (t , X t )dWt

sur un pas de temps h . Elle peut être utilisée pour simuler des trajectoires approchées du processus en prenant h suffisamment petit.

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