maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée d'une matrice triangulaire supérieure est une triangulaire inférieure, et vice-versa. Une matrice triangulaire A est inversible si et seulement si tous ses termes diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est aussi une matrice triangulaire (supérieure si A est supérieure, inférieure sinon). Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses termes diagonaux, par invariance de similitude du polynôme caractéristique. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation. Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées. Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive