Université P. & M. Curie

Le 12 janvier 2008 o R2 → R3 .

Partie I : Questionnaire N 1

5

 1 3 L'image de 2 2 est 3 1



1 Le noyau de

1 2 3 3 2 1

est :

a une droite de R3 ne passant pas par 0 b R3 tout entier c un plan contenant (1, 1, 1) d un plan contenant (−12, −24, −36) e une droite contenant (1, 3).

a une droite de R3 contenant (1, −2, 1) b un plan de
(3, −1). R3 contenant (1, 1, −1)

c un sous-espace vectoriel de

R2

contenant

2 La famille ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 2, 1)) est a génératrice de b liée c une base de
R3 R2

1 2 3 dans les bases 3 2 1 canoniques et x = (1, 2, 3), alors par la matrice M =

6 Si f est l'application linéaire représentée

a f est une application de R3 dans R2 b f (x) est le vecteur (3, 2, 1) c f (x) est le vecteur (14, 10) d f (x) n'est pas déni, parce que M n'a que deux lignes alors que x a trois composantes.

d génératrice d'un plan de R3 . colonnes. Alors ses vecteurs-colonne seulement si A est surjective matrice est inversible

3 Soit A une matrice à m lignes et n

a forment une famille libre de Rm si et b forment une base de Rm si et seulement si la c forment une famille génératrice de Rm si et seulement si A est surjective.

7 Les applications suivantes sont linéaires : a x ∈ R → cos x (bien que cos 0 = 0) b (x, y) ∈ R2 → (x + y, x − y) ∈ R2 c x ∈ R → sin x (parce que sin 0 = 0) d f : x ∈ R → x2 + 1 (bien que f (0) = 0) e x ∈ R → 2x + 2x. sous-espaces vectoriels :

4 Soit E le sous-espace vectoriel de par le système

R3

déni

x−y+z =0 . x + y − z = 0.

√

a dim E = 3 b E est le noyau d'une application linéaire
R3 → R2 R → R3

8 Les ensembles suivants sont des

a {(x, y) ∈ R2 , x − y = 0} b Ker f , où f est une application linéaire c {(x, y) ∈ R2 , x + y + 1 = 0} d {(x, x + 1) ∈ R2 , x ∈ R}.

c E est l'image d'une application linéaire

d dim E = 1 e E est le noyau d'une application linéaire
R2 → R3

f dim E = 2 g E est l'image d'une