LYCEE LE LIKESDEVOIR DE MATHÉMATIQUES23/09//2014
TS4DURÉE 2H corrigé Exercice 1
Étudier la convergence des suites définies ci-dessous. un=n+n-1n, n∈ℕ*
On a : limn→+∞n=limn→+∞n= +∞ et limn→+∞1n=0
D’où par somme : limn→+∞un= +∞

un=2n3-5n2-n, n∈ℕ
On a, pour n≠0 : un=n3(2-5n-1n2)
Or limn→+∞n3= +∞ etlimn→+∞2-5n-1n2=2 par quotient et somme
D’où, par produit :limn→+∞un= +∞

un= 2n2-n-13-n2, n∈ℕ
On a, pour n≠0 : un=2-1n-1n23n²-1
Or limn→+∞2-1n-1n2=2 par quotient et somme et limn→+∞3n-1=-1 par quotient et somme
D’où, par quotient :limn→+∞un= -2

un=(-1)n-n, n∈ℕ
Pour tout n :
(-1)n≤1
(-1)n-n≤1-n un≤1-n Or limn→+∞1-n=-∞
D’où, d’après le théorème de majoration, limn→+∞un= -∞ un= 4- sinn1+ n, n∈ℕ
Pour tout n :
-1≤sinn≤1
1≥-sinn≥-1
5≥4-sinn≥3
51+n≥4-sinn1+n≥31+n donc 31+n≤un≤51+n
Or, par somme et quotient : limn→+∞31+ n=0 et limn→+∞51+ n=0
D’où, d’après le théorème d’encadrement : limn→+∞un=0

un= -2×3n, n∈ℕ
On sait que limn→+∞3n= +∞ car 3 > 1
D’où, par produit : limn→+∞un= -∞

un=n-n, n∈ℕ
On a : un=n(1-n)
Comme limn→+∞n= +∞ , on obtient par somme et produit : limn→+∞un= -∞

Remarque : multiplier et diviser par l’expression conjuguée n+n ne permettait pas de lever l’indétermination puisque cela aboutit à une nouvelle forme indéterminée (de type l’infini sur l’infini)

Exercice 2
Soit u la suite définie par un= 2n-n3n, n∈ℕ
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 2n-n est positif. En déduire un minorant de la suite u.
On a : 20-0>0
Posons comme hypothèse de récurrence que, pour une valeur donnée de n on a : 2n-n>0.
On a : 2n+1-(n+1)=2×2n-n-1=2n-1+2n-n
Or, d’après l’hypothèse de récurrence, 2n-n>0.
Donc 2n-1+2n-n>2n-1≥0 car (2n) est une suite géométrique croissante de premier terme 1.
Donc 2n+1-(n+1)>0
Si la propriété est vraie à un rang n donné, elle est donc aussi vraie au rang n+1. Comme elle est vraie au rang 0, d’après le principe de récurrence, on peut affirmer