Chapitre 23 MATRICES

Enoncé des exercices

1

Les basiques

Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y

Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4

,

2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8
1 X−1

Exercice 23.3 Donner la matrice de l’application linéaire f : R2 [X] → R2 [X] , f (P ) = (X − 1)2 P (X − 1) P (X) dans la base canonique, puis dans la base de Taylor : 1, (X − 1) ,
′ (X−1) 2
2

+

.

Exercice 23.4 Soit E = Vect (sin, cos, ch, sh) . On a vu que B = (sin, cos, ch, sh) est une base de E. Donner la matrice de l’opérateur de dérivation dans cette base. 1 −1 Exercice 23.5 Soit A =  0 1 1 1 déterminer ker f. Donner une base de   2 0  et f l’endomorphisme canoniquement associé. Déterminer le rang de f, 2 Im f     1 2 =  −1  et e3 =  −1  . Montrer que c’est une base de 2 1 0 3 2 0  dans cette base. Que vaut f (e1 − 2e2 + 3e3 ) ? 0 1 

 1 Exercice 23.6 Soit B = (e1 , e2 , e3 ) où e1 =  0  , e2 1  1 R3 . Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice A =  0 3

1. LES BASIQUES  −1 0 1 Exercice 23.7 Soit A =  −1 −2 1  et f l’endomorphisme −1 −1 1 B = (e1 , e2 , e3 ) telle que  0 0 B = M atB (f ) =  0 −1 0 0 Exercice 23.8 Puissance énième  1 1. Calculer An pour A =  0 0 2. (Plus technique) et racine énième de matrices.  2 1 1 2  et n entier. 0 1  

CHAPITRE 23. MATRICES

de R3 associé. Montrer qu’il existe une base  0 1  −1

 1 2 3 Exercice 23.9 Trouver B tel que B 2 =  0 1 2  0 0 1

Trouver B tel que B 2 = A et plus généralement B tel que B n = A pour n ≥ 2.

Exercice 23.10 Soit E = R3 [X] et ∆ : P → P (X + 1) − P (X)

1. Ecrire la matrice de ∆ dans la base canonique B de E, calculer ∆(8X 3 + 2X 2 − 5X +