Exercices - Matrices : corrigé
Autour du produit
Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices
D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique.

Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve :
AB =

0 0
0 0

,

0 0
0 0

BA =

.

En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls.
2. Le produit AB n’est pas défini car A a trois colonnes et B deux lignes. Pour BA, on trouve −1 2
1
BA =
.
−1 −5 −3
3. Le produit BA n’est pas défini. En revanche, on a




3 3 0 1


AB =  1 2 0 1  .
6 3 0 0

Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup Soit B =

c d e f

une telle matrice. On a :

AB =

ac + be ad + bf ae af

ac bc + da ae be + af

, BA =

.

Puisque AB = BA, on obtient le système :


 ac + be = ac



ad + bf af = bc + da
= be + af

On résoud ce système pour trouver que e = 0 et c = f . Toutes les matrices B qui conviennent sont celles de la forme : c d
.
0 c

Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup On trouve :





1 1 1


AB = AC =  1 1 0  .
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Exercices - Matrices : corrigé
La matrice A n’est pas inversible : si tel était le cas, on multiplierait à gauche par A−1 dans l’égalité AB = AC, et on trouverait B = C. Ce n’est pas le cas ! Pour la seconde partie, on considère F une matrice vérifiant les propriétés précitées :




a b c


F =  d e f . g h i
Le calcul de AF donne :




a b c

 d+g e+h f +i
AF = 
.
3a + d + g 3b + e + h 3c + f + i
Puisque AF = 0, on a le système suivant :

 a=b=c=0 

 d = −g
⇐⇒
 e = −h






 a=b=c=0

d+g =e+h=f +i=0


 3a + d + g = 3b + e + h = 3c + f + i = 0

f = −i

Les matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :




0
0
0

 e f .
F = d
−d −e −f

Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices
A=

0 1
,
0 0

B=

1 0
0 0