10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES

COURS MPSI

R. FERREOL 11/12

B) MATRICES
E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels.
RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de
[|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ;
1 j p

j



 a11 a12 a1p a1j
 a21 a22

 a2p 
...
= i 

on la représente aussi par le tableau rectangulaire :
 ai1 ... aij ... aip  ;
 ...





an1 anp .... anj l’ensemble K [|1,n|]×[|1,p|] de ces matrices est noté Mnp (K) ; on sait que c’est un K-espace vectoriel de dimension np, (donc isomorphe à K np ), dont la base canonique est formée des matrices (Ekl ) avec Ekl (i, j) = δ .... δ .... .
1 k n
1 l p

I) MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE RELATIVEMENT À DEUX BASES.
1) Propriété fondamentale.
PROP : la connaissance des images des vecteurs d’une base de l’espace de départ caractérise entièrement une application linéaire ; plus précisément : si (H) :

→
B = (− e1 , ..., − e→ n ) base de E
−
→ n (y1 , ..., − y→ n) ∈ F

→
→
alors (C) : ∃!f ∈ L (E, F ) / ∀i ∈ [|1, n|] f (− ei ) = − yi D1
2) Définition.
DEF : la matrice d’une application linéaire entre espaces de dimensions finies relativement à (ou dans) une base de l’espace de départ et une base de l’espace d’arrivée, est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans la base d’arrivée des images des vecteurs de la base de départ ; autrement dit :


f ∈ L (E, F )
→
 B = (− e1 , ..., − e→ n ) base de E

−
→
→

si  C = f1 , ..., − fp base de F

A = (aij ) 1 i p ∈ Mpn (K)

def
→
alors A = mat (f) ⇔ ∀j ∈ [|1, n|] f (− ej ) =
(B,C)

....

−
→
a..... f...

i=....

1 j n

Par une représentation en tableau :

→ f (− e1 )






aij est donc la .....ème coordonnée dans

→ f (− ej ) ... f (− e→ n)

a1j

...

ai1 ......... aij ......... ain 


....
apj la base d’arrivée de l’image par f