Matrices

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10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES

COURS MPSI

R. FERREOL 11/12

B) MATRICES
E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels.
RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de
[|1, n|] × [|1, p|] dans K ;
pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n;
1 j p

j




a11 a12
a1p
a1j
 a21 a22


a2p 
...
= i 

on la représente aussi par le tableau rectangulaire :
 ai1 ... aij ... aip  ;
 ...





an1
anp
....
anj
l’ensemble K [|1,n|]×[|1,p|] de ces matrices est noté Mnp (K) ; on sait que c’est un K-espace vectoriel de dimension np, (donc
isomorphe à K np ), dont la base canonique est formée des matrices (Ekl )
avec Ekl (i, j) =δ .... δ .... .
1 k n
1 l p

I) MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE RELATIVEMENT À DEUX BASES.
1) Propriété fondamentale.
PROP : la connaissance des images des vecteurs d’une base de l’espace de départ caractérise entièrement une application
linéaire ; plus précisément :
si (H) :


B = (−
e1 , ..., −
e→
n ) base de E


n
(y1 , ..., −
y→
n) ∈ F



alors (C) : ∃!f ∈ L (E, F ) / ∀i ∈ [|1, n|] f(−
ei ) = −
yi

D1
2) Définition.
DEF : la matrice d’une application linéaire entre espaces de dimensions finies relativement à (ou dans) une base de l’espace
de départ et une base de l’espace d’arrivée, est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans la base d’arrivée des
images des vecteurs de la base de départ ; autrement dit :


f ∈ L (E, F )

 B = (−
e1 , ..., −
e→
n ) base deE





si  C = f1 , ..., −
fp base de F

A = (aij ) 1 i p ∈ Mpn (K)

def

alors A = mat (f) ⇔ ∀j ∈ [|1, n|] f (−
ej ) =
(B,C)

....



a..... f...

i=....

1 j n

Par une représentation en tableau :


f (−
e1 )






aij est donc la .....ème coordonnée dans


f (−
ej ) ... f (−
e→
n)

a1j

...

ai1 ......... aij ......... ain 


....
apj
la base d’arrivée de l’image par f...



f1
...


fi
...


fp
du .....ième vecteur de la base de départ.

ATTENTION : une matrice d’une application linéaire d’un espace de dimension n vers un espace de dimension p est de
format (p, n) et non (n, p) !
REM : pour la matrice d’un endomorphime de E, on prend en général la même base pour E en tant qu’espace de départ,
et pour E en tant qu’espace d’arrivée ; notation : mat(B,B) (f )est simplifié en matB (f ) .
Vocabulaire : la matrice d’une application linéaire de K n dans K p relativement aux bases canoniques de K n et K p est
appelée la matrice canonique de cette application.
3) Exemples.
1

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES

COURS MPSI
E1 :
- la matrice canonique de

x
y

- la matrice canonique de

x
y


x
- la matrice canonique de  y
z

ax + by
est
cx
+ dy 

ax + by→  cx + dy  est
ex + fy

ax + by + cz
→
dx + ey + fz


... ...
... ...



R. FERREOL 11/12

.



est

- la matrice canonique de x → (ax, bx, cx) est

- la matrice canonique de (x, y, z) → ax + by + cz est
:

- la matrice de l’application nulle de E de dimension n vers F de dimension p est, quelles que soient les bases choisies




 = 0........

- la matrice de l’identité estindépendante de la base choisie :



mat B (idE ) = 



 = (δ ij )
1


i,j n

Cette matrice est appelée la matrice identité d’ordre n et notée In .

REM : si l’on ne prend pas la même base pour le départ et pour l’arrivée, la matrice de l’identité n’est plus la matrice




e3 = −
e1 + −
e2


e2 ) et
,
identité ! Par exemple, si E est de base (−
e1 , −





e4 = e1 − →
e2
mat ((→
(idE ) =
−,→


− →

e
3 e4 ),(e1 ,e2 ))

, mat ((→
(idE ) =
− ,→


− →

e
1 e2 ),(e3 ,e4 ))

- la matrice de l’homothétie de rapport a, ha = a.idE est aussi indépendante de la base choisie :



mat B (ha ) = 



 = aIn


- par contre, la matrice d’une projection ou d’une symétrie dépend de la base choisie.
DEF : si E = F ⊕ G, on dit qu’une base B de E est adaptée à cette décomposition si...
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