Corrig´ e du devoir de math´ ematiques 1`ereS

Exercice 1
1. Soit v et w deux fonctions d´efinies et croissantes sur un intervalle I.
Alors, pour tous x et y de I, tels que x < y, on a v(x) < v(y), car u est croissante sur I, et de mˆeme w(x) < w(y) car v est croissante sur I.
En additionnant ces deux in´egalit´es, on obtient u(x) = v(x) + w(x) < v(y) + w(y) = u(y).
La fonction u est donc croissante sur I.
2
(x − 1)(x − 2)
2
x2 − 3x
2. a) Pour tout x > 2, x − 1 −
=
−
=
= f (x) x−2 x−2 x−2 x−2
2
Ainsi, pour tout r´eel x > 2, f (x) = x − 1 − x−2 −2
b) On peut ´ecrire f sous la forme f = v + w, avec v(x) = x − 1 et w(x) =
.
x−2
– v, d´efinie par v(x) = x − 1, est une fonction affine croissante sur IR.
1
1
= −2 ×
.
– On peut ´ecrire w sous la forme : w = −2 × x−2 g(x)
1
est g d´efinie par g(x) = x − 2 est une fonction affine croissante sur ]2; +∞[, donc g 1 d´ecroissante sur ]2; +∞[, et alors w = −2 × est croissante sur ]2; +∞[. g D’apr`es la question 1., f = v + w est donc croissante sur ]2; +∞[.

Exercice 2

A′

×

M

×

Cf

b

×

A

1.

a

a-x
−x

a+x x Soit x tel que (a + x) ∈ I, et A ∈ Cf de coordonn´ees M (a + x, f (a + x)).
Soit A′ le sym´etrique de A par rapport a`
M(a; b). L’abscisse de A′ est donc a − x, et
A′ ∈ Cf si et seulement si l’ordonn´ee de A′ est y ′ = f (a − x).
Comme A et A′ sont sym´etriques par rapport a`
M, M est le milieu du segment [AA′ ], et donc, f (a + x) + f (a − x) b= 2

2. On consid`ere la fonction g d´efinie sur I = IR \ {−1}, par l’expression g(x) =

3x + 2
.
x+1

a) On applique le r´esultat pr´ec´edent avec le point M(−1; 3) (soit a = −1 et b = 3).
L’intervalle I est sym´etrique par rapport `a −1 : pour x = 0, −1 + x ∈ I et −1 − x ∈ I.
3(−1 + x) + 2
De plus, pour tout x = 0, g(a + x) + g(a − x) = g(−1 + x) + g(−1 − x) =
+
(−1 + x) + 1
3(−1 − x) + 2
−1 + 3x −1 − 3x
6x
=
+
=
= 6.
(−1 − x) + 1 x −x x Y. Morel -