mecanique

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 8 (1985 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 3 janvier 2015
Lire le document complet
Aperçu du document
MPSI - Exercices - M´ecanique I - Probl`emes a` un degr´e de libert´e

Probl`
emes `
a un degr´
e de libert´
e

page 1/3


le coefficient de glissement dynamique est d´efini par f =

sont les r´eactions normale et tangentielle au support.
´
Exercice 1. Energie
potentielle.
On consid`ere un champ de forces F de composantes Fx = 2xz, Fy = yz et
Fz = Fz (x, y).
1. D´eterminer Fzpour que F d´erive d’une ´energie potentielle Ep que l’on calculera, sachant que la force est nulle en O. On prendra le plan Oxy comme origine
des ´energies potentielles.
2. Calculer alors, le long de l’h´elice d’´equations param´etriques x = R cos θ,
y = R sin θ et z = hθ la circulation de F de M1 (θ = 0) a` M2 (θ = π).
3. Obtiendrait-on un r´esultat diff´erent en calculant la circulation lelong d’une
autre courbe ?
Exercice 2. Mol´
ecule diatomique.
L’´energie potentielle correspondant a` la force qui s’exerce entre les deux atomes
a
b
d’une mol´ecule diatomique est correctement donn´ee par U (x) = − 6 + 12 o`
ux
x
x
d´esigne la distance intermol´eculaire et a et b sont des constantes positives.
1. Donner l’expression de la force f (x) qui s’exerce entre les deux atomes.2. Les masses des deux atomes sont m et M (M > m). En supposant que l’atome
de masse M reste au repos en un point O, tandis que l’autre peut se d´eplacer sur
la droite x′ Ox, trouver les diff´erents mouvements possibles a` l’aide du graphe de
la fonction U (x). Quelle est la distance d’´equilibre x0 entre les deux noyaux ?
3. Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme f (x0 +ǫ) = −kǫpour ǫ ≪ x0 . En
d´eduire la p´eriode des petites oscillations de m autour de la position d’´equilibre
en fonction de m, a et b.
Exercice 3. .
Une bille de masse m est susceptible de glisser :
1. soit sans frottement a` l’int´erieur d’une portion de jante circulaire, quart de
cercle de centre C de rayon R.
2. soit en pr´esence de frottement de coefficient de glissement dynamique ∗ f
constant,sur un plan inclin´e d’angle α.
D´eterminer dans chaque cas la vitesse minimale v0 qu’il faut communiquer a` la
bille en M0 afin qu’elle atteigne le point M1 .

C

RT
RN

o`
u RN et RT

M1

M1

α
M0

M0

Exercice 4. .
On abandonne sans vitesse initiale un bloc de masse m
a` partir du sommet d’un plan inclin´e faisant un angle
θ avec l’horizontale. Le bloc glisse sansfrottement et
vient comprimer un ressort de constante de raideur k
en bas du plan inclin´e. Au moment du choc, le ressort
est comprim´e d’une longueur d avant qu’il ne se d´etende a` nouveau.
1. Calculer k en fonction de m, θ, L et d.
2. Jusqu’`a quelle hauteur le bloc remonte-t-il ?

L

θ

Exercice 5. .
Un point M de masse m est plac´e `
a l’instant initial sur le sommet A d’une sph`eresur laquelle il glisse sans frottement ; on lui communique une vitesse horizontale
v0 . Soit O le centre de la sph`ere et R son rayon.
1. D´eterminer la r´eaction RN de la sph`ere sur M en fonction de l’angle ϕ =
(OA, OM).
2. Quelle est la valeur maximale ϕm de ϕ ? Quel est le mouvement ult´erieur ?
Exercice 6. .
A quelle vitesse v0 faut-il lancer verticalement un objet de masse m pour qu’ilatteigne une altitude z1 au dessus du sol avec une vitesse nulle dans les deux cas
suivants :
1. On suppose g = g0 constant.

MPSI - Exercices - M´ecanique I - Probl`emes a` un degr´e de libert´e

page 2/3

2. On suppose que g varie avec l’altitude proportionnellement a` 1/r2 ? On notera
R le rayon de la Terre.
Exercice 7. .
Une particule mat´erielle M de masse m est d´epos´ee aupoint A0 a` l’altitude h sur
un plan inclin´e.
1. La particule parvient-elle au point A1 d’altitude h′ > h en supposant qu’elle
glisse sans frottement sur le plan ?
2. Le point mat´eriel est maintenant reli´e a` un ressort de constante de raideur k
et de longueur au repos l0 . Le ressort est comprim´e jusqu’`
a une longueur l puis
bloqu´e, la particule est alors en A0 . On lib`ere le...