Mercantilisme classique

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Chapitre 4

Courbes paramétrées.

Jusqu'à présent, les courbes qui ont été étudiées correspondaient à des fonctions dénies sur I ou une partie de I et à valeurs dans I , et les graphes correspondant avaient R R R la particularité de ne pas admettre de points doubles ni de revenir sur eux-mêmes: A une valeur donnée de x correspond au plus une valeur de y . Or, la plupart des courbes ou destrajectoires rencontrées dans plusieurs situations peuvent avoir un comportement quelconque. Il est par conséquent nécessaire d'introduire de nouveaux types de courbes qui répondent à ce genre de situation.

I. Introduction.

1. Fonctions vectorielles.
une partie A ⊂ I et à valeurs dans l'espace vectoriel I 2 . R R
F : A ⊂ I −→ I 2 R R t −→ F (t) = (x(t), y(t)). A est l'ensemble de dénitionde la fonction F .

Dénition Une fonction vectorielle à valeurs dans I 2 est une application dénie sur R

Sur I 2 , on choisit la norme euclidienne R
||(x, y)|| = x2 + y 2 ,

et on dira que la suite (un = (xn , yn ))n tend vers (α, β) si ||(xn − α, yn − β)|| tend vers 0 lorsque n tend vers +∞. Cela équivaut à dire que les deux suites (xn )n et (yn )n tendent respectivement vers α et versβ. Etudier la courbe paramétrée dénie par F signie tracer dans le plan I 2 l'image de A R par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M (t) = (x(t), y(t)) lorsque t parcourt A. La fonction F sera supposée posséder certaines propriétés comme la continuité et la dérivabilité en tant que fonction à valeurs dans I 2 . Nous devons donc préciser ces notions. R

dans A. On dit que F estcontinue en t0 si F (t) tend vers F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . 1

Dénitions Soit t0 ∈ A, on suppose que t0 appartient à un intervalle ouvert contenu

On dit que F est dérivable en t0 si le rapport
F (t) − F (t0 ) tend vers une limite nie notée F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . t − t0

Remarquons que lorsque F est dérivable en t0 , la limite F (t0 ) est en fait un vecteur de I 2 . R On a lesrésultats suivants:

t −→ y(t) sont continues en t0 .

Proposition F est continue en t0 si et seulement si les deux fonctions t −→ x(t) et

F est dérivable en t0 si et seulement les deux fonctions t −→ x(t) et t −→ y(t) sont dérivables en t0 et on a F (t0 ) = (x (t0 ), y (t0 )).

Démonstration. D'après la norme euclidienne, on a
||F (t) − F (t0 )|| = (x(t) − x(t0 ))2 + (y(t) − y(t0 ))2 .Ainsi, si F (t) tend vers F (t0 ) = (x(t0 ), y(t0 )) alors x(t) tend vers x(t0 ) et y(t) tend vers y(t0 ). Inversement, si x(t) tend vers x(t0 ) et y(t) tend vers y(t0 ) alors F (t) tend vers F (t0 ). De même, si F est dérivable en t0 et si on note F (t0 ) = (l, k) alors forcément les rapports x(t) − x(t0 ) y(t) − y(t0 ) et
t − t0 t − t0

tendent respectivement vers l et k. La réciproques'établit de la même manière.

A et si sa fonction dérivée

Dénitions On dit que F est de classe C 1 sur A si F est dérivable en tout point de
t −→ F (t) est continue sur A.

F est dite de classe C n sur A, où n est un entier supérieur ou égal à 1, si F est n fois dérivable sur A et si sa dérivée d'ordre n est continue sur A.

Nous allons donner sans démonstration la formule de Taylor-Youngpour une fonction vectorielle à valeurs dans I 2 . R

2

Formule de Taylor-Young.
Soit F une fonction de classe C n sur un intervalle ouvert I contenant t0 et contenu dans A, alors, pout tout t ∈ I , on a
F(t) = F(t0 ) + (t − t0 )F (t0 ) + 1 1 (t − t0 )2 F(2) (t0 ) + ... + (t − t0 )n F(n) (t0 ) + (t − t0 )n ε(t − t0 ), 2! n!

où ε est un fonction dénie sur I à valeurs dans I 2 qui esttelle que R
ε(t) tend vers (0, 0) ∈ I 2 lorsque t tend vers t0 . R

Signalons tout de même que cette formule résulte des deux formules de Taylor-Young pour les fonctions x et y et la fonction ε a pour fonctions composantes ε = (ε1 , ε2 ) où ε1 et ε2 sont données par les restes des deux formules de Taylor-Young de x et de y .

2. Points stationnaires et vecteurs tangents.
Dénition On dit...
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