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c M Dunseath-Terao - Master 1 de Physique UR1 2005–2006

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Chapitre -1 Le moment cin´tique e
-1.1. Le moment cin´tique en m´canique classique e e
L’´quation du mouvement d’un corps en rotation en m´canique classique est e e dL =N dt o` L = r × p ≡ moment cin´tique du corps par rapport ` un point fixe (dans un r´f´rentiel u e a ee d’inertie) pris comme origine, N = r × F ≡ moment du couplepar rapport ` ce point fixe, F ´tant la force ext´rieure a e e agissant sur la particule. ˆ Si F est une force centrale F = r f (r), N = 0 et le moment cin´tique est constant e dL = 0. dt (2) (1)

-1.2. Le moment cin´tique en m´canique quantique e e
En m´canique quantique, le moment cin´tique est un op´rateur vectoriel e e e L = −i r × dont les trois composantes sont Lx Ly Lz ∂ ∂ −z ∂z ∂y ∂ ∂ =−i z −x ∂x ∂z ∂ ∂ = −i x −y ∂y ∂x = −i y (3)

(4)

o` nous avons adopt´ le syst`me d’unit´s atomiques : u e e e e = 1, m = 1, = 1.

Le moment cin´tique e

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Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennantquelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5)

df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que les composantes de l’op´rateur moment cin´tique ob´issent aux relations de commutation e e e [Lx , Ly ] [Ly , Lz ] [Lz , Lx ] qui entraˆ ınent ` leur tour la relation a [Lx , L2 ] = [Ly , L2 ]= [Lz , L2 ] = 0 o` L2 est le module au carr´ du moment cin´tique u e e L2 = L2 + L2 + L2 . x y z (9) c-`-d [L, L2 ] = 0 a (8) = iLz = iLx = iLy , (7)

Les relations (7) d´finissent un moment cin´tique en m´canique quantique : l’op´rateur vectoriel J est un e e e e moment cin´tique si ses composantes Jx , Jy , Jz sont des observables (c-`-d des op´rateurs hermitiques) e a e v´rifiant lesrelations de commutation e [Ji , Jj ] = i εijk Jk (10) o` εijk est un symbole de Levi-Civitta (εijk = ±1 suivant que ijk est une permutation circulaire ou u anti-circulaire des indices x, y, z).

-1.3. Les op´rateurs J+ et J− e
On d´finit les op´rateurs e e J+ J− Ils sont hermitiques conjugu´s : e
† J+ = J− .

= Jx + iJy = Jx − iJy .

(11) (12) (13)

Les noms de ces op´rateurs seront justifi´sci-dessous. Les op´rateurs J+ , J− et Jz d´finissent compl`e e e e e tement l’op´rateur vectoriel J , au mˆme titre que Jx , Jy , et Jz , tout en s’av´rant plus commodes ` e e e a manipuler du point de vue alg´brique. Leurs relations de commutation se d´duisent de (10) : e e [Jz , J+ ] [Jz , J− ] [J+ , J− ] Suivant les relations (8), on a ´galement e [J + , J 2 ] = [J − , J 2 ] = [J z , J 2 ] = 0.(15) = J+ = −J− = 2Jz . (14)

Le moment cin´tique e

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Il est facile de d´montrer les relations importantes e 1 2 J2 = (J+ J− + J− J+ ) + Jz 2 J − J+ = J 2 − Jz (Jz + 1) J + J− = J 2 − Jz (Jz − 1).

(16) (17) (18)

-1.4. Valeurs propres de J 2 et Jz
Les valeurs propres de J 2 sont positives. En effet, J x , J y et J z sont des op´rateurs hermitiques, ce qui e implique que pour toutefonction ψ
2 ψ|Jx |ψ = Jx ψ|Jx ψ ≥ 0.

(19)

Ceci implique que J 2 est un op´rateur hermitique positif. J 2 , qui est une somme de tels op´rateurs, l’est e e x donc ´galement. e Notons |j m un vecteur propre de J 2 et Jz , de valeur propre j(j + 1) positif et m respectivement : J 2 |j m Jz |j m = j(j + 1)|j m = m|j m . (20) (21)

Les vecteurs J+ |j m et J− |j m ont respectivement pour norme J+jm|J+ jm = = = J− jm|J− jm = = = jm|J− J+ |j m [(j(j + 1) − m(m + 1)] j m|j m (j − m)(j + m + 1) j m|j m jm|J+ J− |j m [(j(j + 1) − m(m − 1)] j m|j m (j + m)(j − m + 1) j m|j m (23) (22)

o` on a utilis´ les relations (17) et (18). Ces normes devant ˆtre positives, on a donc u e e (j − m)(j + m + 1) ≥ 0, donc − j ≤ m ≤ j. (25) De plus, comme seuls les vecteurs nuls ont une norme nulle, J+ |j...
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