c M Dunseath-Terao - Master 1 de Physique UR1 2005–2006

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Chapitre -1 Le moment cin´tique e
-1.1. Le moment cin´tique en m´canique classique e e
L’´quation du mouvement d’un corps en rotation en m´canique classique est e e dL =N dt o` L = r × p ≡ moment cin´tique du corps par rapport ` un point fixe (dans un r´f´rentiel u e a ee d’inertie) pris comme origine, N = r × F ≡ moment du couple par rapport ` ce point fixe, F ´tant la force ext´rieure a e e agissant sur la particule. ˆ Si F est une force centrale F = r f (r), N = 0 et le moment cin´tique est constant e dL = 0. dt (2) (1)

-1.2. Le moment cin´tique en m´canique quantique e e
En m´canique quantique, le moment cin´tique est un op´rateur vectoriel e e e L = −i r × dont les trois composantes sont Lx Ly Lz ∂ ∂ −z ∂z ∂y ∂ ∂ = −i z −x ∂x ∂z ∂ ∂ = −i x −y ∂y ∂x = −i y (3)

(4)

o` nous avons adopt´ le syst`me d’unit´s atomiques : u e e e e = 1, m = 1, = 1.

Le moment cin´tique e

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Rappel : Un op´rateur vectoriel est d´fini par ses composantes qui sont des op´rateurs au sens ordinaire. e e e Elles ob´issent aux r`gles d’alg`bre vectorielle habituelle (somme, produit scalaire, produit vectoriel) e e e moyennant quelques pr´cautions concernant l’ordre des op´rateurs. e e En utilisant les r`gles de commutation e [x, px ] = [y, py ] = [z, pz ] = i [x, px ]f (x) = −i x (5)

df d(xf ) − = if (x), (6) dx dx on montre que les composantes de l’op´rateur moment cin´tique ob´issent aux relations de commutation e e e [Lx , Ly ] [Ly , Lz ] [Lz , Lx ] qui entraˆ ınent ` leur tour la relation a [Lx , L2 ] = [Ly , L2 ] = [Lz , L2 ] = 0 o` L2 est le module au carr´ du moment cin´tique u e e L2 = L2 + L2 + L2 . x y z (9) c-`-d [L, L2 ] = 0 a (8) = iLz = iLx = iLy , (7)

Les relations (7) d´finissent un moment cin´tique en m´canique quantique : l’op´rateur vectoriel J est un e e e e moment cin´tique si ses composantes Jx , Jy , Jz sont des observables (c-`-d des op´rateurs hermitiques) e a e v´rifiant les