Methode du simplexe

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Optimisation linéaire

Algorithme du simplexe

Recherche opérationnelle
Génie Civil

Rappel
Si un problème de programmation linéaire en forme standard possède une solution optimale, alors il existe une solution de base admissible qui soit optimale. Méthode du simplexe : passer d’une solution de base admissible à l’autre, en réduisant le coût.
Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 3Problème

avec
– – –

A matrice m lignes n colonnes lignes de A linéairement indépendantes On note P = {x ¦ Ax = b, x ≥ 0} Problème en forme standard
Michel Bierlaire 4

Algorithme du simplexe

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Direction admissible
Idée de l’algorithme:
– –

Direction admissible
Soit x ∈ P. On va se déplacer le long d’une direction d ∈ IRn. d doit nous maintenir dans P Définition :


Soitx0 une solution de base admissible Pour k=0,…. faire
Trouver xk+1 sol. de base adm. voisine telle que cTxk+1 < cTxk



Jusqu’à ce qu’aucune sol. de base adm. voisine n’améliore l’objectif.

On trouve alors un minimum local En programmation linéaire, minimum local = minimum global.
Algorithme du simplexe Michel Bierlaire 5

Soit x un élément d’un polyèdre P. Un vecteur d ∈ IRn est appelédirection admissible en x s’il existe un scalaire positif θ tel que x + θd ∈ P
Michel Bierlaire 6

Algorithme du simplexe

Direction admissible
direction non admissible direction admissible toutes les directions sont admissibles direction admissible

Direction admissible
Soit x une solution de base admissible Soient B(1),…,B(m) les indices des variables de base Soit B=[AB(1)… AB(m)] lamatrice de base associée xi = 0 pour toute variable hors base xB=(xB(1),…,xB(m)) = B-1 b
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Algorithme du simplexe

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Direction admissible
Comment déterminer x+θd ? Choisir une variable j hors base (qui vaut 0) Augmenter sa valeur jusqu’à θ, tout en gardant les autres variables hors base à zéro. Donc :
– –

Directionadmissible
Il faut rester admissible : A(x + θ d) = b Ax + θ Ad = b x est admissible, et donc Ax = b Pour que x + θ d soit admissible, il faut que Ad = 0
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dj = 1 di = 0, i ≠ j, i indice hors base
Michel Bierlaire

Algorithme du simplexe

Direction admissible

Direction admissible
Nous obtenons: dB = - B-1 Aj La direction d ainsi obtenue estappelée jième direction de base Elle garantit que les contraintes d’égalité seront vérifiées lorsque l’on s’éloigne de x le long de d. Qu’en est-il des contraintes de non négativité ?

Algorithme du simplexe

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Algorithme du simplexe

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Direction admissible
Variables hors-base:
– –

Direction admissible
Variables de base.


xj étaitnulle et devient positive xi, i≠j, restent à zéro Si x est une solution de base admissible non dégénérée, alors xB > 0. Lorsque θ est suffisamment petit
xB + θ dB ≥ 0

Variables de base.




Si x est une solution de base admissible dégénérée, alors d n’est pas toujours une direction admissible. C’est le cas lorsque qu’une variable de base xi = 0 et que la composante correspondante di dela direction est négative.

Si x est une solution de base admissible non dégénérée, la jième direction de base en x est admissible, pour tout j indice de base.
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Algorithme du simplexe

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Conditions d’optimalité
Quels sont les impacts sur la fonction objectif ? cT(x + θ d) = cTx + θ cTd cTd : taux de modification du coût lelong de d
T cT d = ∑ ci di = ∑ cB ( i ) d B (i ) + c j = cB d B + c j i =1 i =1 n m

Conditions d’optimalité
Comme dB = - B-1 Aj, on obtient cTd = cj - cTB B-1 Aj Interprétation intuitive :
– –

en augmentant xj, cela coûte cj - cTB B-1 Aj est le prix à payer pour vérifier Ax=b.

Définition : Soit x une solution de base, soit B la matrice de base associée, et cB le vecteur de coût pour...
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