RESOLUTION D’UNE EQUATION DIFFERENTIELLE PAR LA METHODE D’EULER
C’est une méthode d’intégration numérique d’équations différentielles du premier ordre du type consiste en une succession d’itérations. 1. Principe de la méthode On cherche à déterminer les valeurs de la fonction y = f(t) pour t  [t0, tmax] connaissant :  l’équation différentielle y’ + ay = b,  les conditions initiales y(t0)=y0. On fixe une valeur pour une durée t, très petite devant tmax, qui représente le pas de calcul ou pas d’incrémentation. On utilise pour cela l’approximation suivante : y’(t) = D’où en déduit : y’ + ay = b. Elle

dy y y(t  t )  y(t ) (t )  (t )  dt t t y )(t )  t t

y (t  t )  y(t )  (
En posant tn=t et tn+1=t+∆t, la relation d’Euler devient :

y (t n 1 )  y(t n )  (

y )(t n )  t t

2. Etapes de calcul       On connait les conditions initiales : à t0, y(t0)=y0. A partir de l’équation différentielle, on calcule On en déduit y(t1)=y(t0+∆t)= On calcule ensuite :

y (t 0 ) 

y (t1 )  b  ay (t1 ) t y Puis y(t2)=y(t1+∆t)= y (t1 )  (t1 )  t t
Et ainsi de suite jusqu’ à t=tmax.

y (t 0 )  t t

y (t0 )  b  ay (t0 )  b  ay0 t

On obtient l’organigramme suivant :

Conditions initiales : t0 = 0 ; y = y0

Calcul de y’ : y’(t0)= b – ay(t0)

t1 = t0 + t y1 = y0 + y’(t0) t

Nouvelles conditions initiales : t0 = t1 et y0 = y1

non t = t max ? oui Fin

On peut présenter les résultats sous forme d’un tableau : Date t0 t1=t0+∆t t2=t1+∆t ………………… y0 y1= y0+ y’(t0) ∆t y2= y1+ y’(t1) ∆t …………….. y

y'  y’(t0)=b-ay0 y’(t1)=b-ay1 y’(t2)=b-ay 2

y t

……………….

3. Méthode d’Euler et physique : Charge d’un condensateur sous une tension constante

i R E q C uC uR

La tension E représente l’échelon de tension. Elle ne peut prendre que les deux valeurs E (charge du condensateur) ou 0 (décharge du condensateur). L’équation différentielle vérifiée par la tension uC s’écrit :

duC 1 E  uC  dt  

Le