Methodes numeriques

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Chapitre 2 :
Int´egration num´erique
I. Motivation :
calcul approch´e d’int´egrales
Exemple : f(x) = cos(x)
p
x2 + 1
Que vaut I =
Z 2
0
f(x)dx ?
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Exemple : f(x) = cos(x)
p
x2 + 1
Que vaut I =
Z 2
0
f(x)dx ?
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5M´ethodes des rectangles
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points
M´ethodes des rectangles `a gauche
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points 10 subdivisions
M´ethodes des rectangles `a gaucheApproximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
21 points 20 subdivisions
M´ethodes des rectangles
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points
M´ethodes des rectangles `a droite
Approximation par unefonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points 10 subdivisions
M´ethodes des rectangles `a droite
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
21 points 20 subdivisionsM´ethodes des rectangles
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points
M´ethodes des rectangles au point milieu
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points 10 subdivisions
M´ethodes desrectangles au point milieu
Approximation par une fonction constante par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
21 points 20 subdivisions
M´ethodes des trap`ezes
Approximation par une fonction affine par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points
M´ethodes des trap`ezes
Approximation par unefonction affine par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
11 points 10 subdivisions
M´ethodes des trap`ezes
Approximation par une fonction affine par morceaux
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
21 points 20 subdivisions
Comparaison desdiff´erentes valeurs app. (20 subdivisions)
Rectangles `a gauche Rectangles `a droite
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
I=0.019664765868385 I=0.143271563618364
Rectangles au point milieu Trap`ezes
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5I=0.080343177070866 I=0.081468164743374
Comparaison des diff´erentes valeurs app. (100 subdivisions)
Rectangles `a gauche Rectangles `a droite
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
I=0.068388241234746 I=0.093109600784742
Rectangles au point milieu Trap`ezes
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
I=0.080704188569061 I=0.080748921009744
II. Formules ´el´ementaires
et formules compos´ees
1) Principe
Soit f : [a, b] ! R (a < b), une fonction continue sur [a, b]
a
b
x
f (x)
1) Principe
Soit f : [a, b] ! R (a < b), une fonction continue sur [a, b]
a
b
x
f (x)
Calcul approch´e de
I(f) =
Z b
a
f(x)dx ?
1) Principe
Soit f : [a, b] ! R (a < b),...
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