E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

5 POINTS

→
− →
−
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé O, ı ,  , une courbe C et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives (0 ; 1) et (−1 ; 3).
3

B

A
→
−

O

−1

→
−
ı

C

On désigne par f la fonction dérivable sur R dont la courbe représentative est C .
On suppose, de plus, qu’il existe un réel a tel que pour tout réel x,
2

f (x) = x + 1 + axe−x .
1. a. Justifier que la courbe C passe par le point A.
b. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
c. Démontrer que pour tout réel x,
2

f ′ (x) = 1 − a 2x 2 − 1 e−x .
d. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe C au point A.
Déterminer la valeur du réel a.
2. D’après la question précédente, pour tout réel x, f (x) = x + 1 − 3xe−x

2

et

2

f ′ (x) = 1 + 3 2x 2 − 1 e−x .

a. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle ] − 1 ; 0], f (x) > 0.

b. Démontrer que pour tout réel x inférieur ou égal à −1, f ′ (x) > 0.
3
c. Démontrer qu’il existe un unique réel c de l’intervalle − ; −1 tel que
2
f (c) = 0.
3
Justifier que c < − + 2.10−2 .
2
3. On désigne par A l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par : c x

0 et 0

a. Écrire A sous la forme d’une intégrale.

y

f (x).

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014

Baccalauréat S 11 septembre 2014

b. On admet que l’intégrale I =

A. P. M. E. P.

0
− 23

f (x) dx est une valeur approchée de A

à 10−3 près.
Calculer la valeur exacte de l’intégrale I .

E XERCICE 2
Commun à tous les candidats

5 POINTS

Dans cet exercice, on s’intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sans réservation ou avec réservation préalable.
1. Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients.
On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement