MicroFAQ > Utilité > Maximisation d'utilité sous contrainte - Trouver la demande
Afin de trouver l’optimum du choix du consommateur, il faut maximiser une fonction d’utilité sous une contrainte budgétaire :
(1) Max U(A,B)
(2) s.c. Pa.A + Pb.B = Budget où A et B représentent respectivement les quantités des biens A et B, et Pa et Pb représentent respectivement les prix de A et B.
Cette formulation indique que le consommateur choisira un panier de biens A et B qui va maximiser l’utilité qu’il retire de la consommation de ce panier. Le choix de ce panier est cependant limité par son budget. L’égalité de la contrainte indique que tout le budget du consommateur est consacré à la consommation des biens A et B.
La condition de premier ordre de cette maximisation est
(3) UM(A)/UM(B) = Pa/Pb où UM(A) = dU/dA et UM(B) = dU/dB
Cette condition indique que la pente de la courbe d’indifférence doit être égale à la pente de la contrainte budgétaire. La condition de premier ordre ne tient pas compte cependant du Budget en lui-même.
En combinant les équation (2) et (3) (on insère la condition de premier ordre dans la contrainte de budget), on obtient un panier (= des quantités pour A et B) qui répond aux conditions suivantes :
- le panier se trouve sur la contrainte budgétaire (car on a utilisé l’équation (2), la contrainte)
- la contrainte est tangente à la courbe d’indifférence (car on a utilisé l’équation (3), la condition de premier ordre) L’équation de la demande pour A ou pour B fait le lien entre le prix et les quantités demandées de A ou B. Afin de retrouver algébriquement cette équation, il suffit dès lors de laisser le prix du bien dont on cherche la demande comme variable dans le panier final de la maximisation.
Exemple pour une fonction Cobb-Douglas : (Note : ici la somme des exposants de la fonction Cobb-Douglas vaut 1. Vous pouvez trouvez ici la maximisation d'une forme plus générale de Cobb-Douglas)
Le calcul des utilités marginales est le