Miley

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 10 (2275 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 19 octobre 2009
Lire le document complet
Aperçu du document
‫ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺷﺘﻘﺎق – ﺗﻤﺜﻴﻞ داﻟﺔ‬
‫1- ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﻤﻄﺮاف‬ ‫أ( ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ I‬و ‪x0 ∈ I‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪ x‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ 0‪x‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺮض أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0‪x‬‬

‫‪∀x ∈ J‬‬

‫وﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ‪ J‬ﻣﺮآﺰﻩ 0‪ x‬ﺿﻤﻦ ‪ I‬ﺣﻴﺚ ) 0‪f ( x ) ≤ f ( x‬‬
‫‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪ x‬وﻣﻨﻪ ) 0‪f ' ( x0 ) = f d ' ( x0 ) = f g ' ( x‬‬

‫‪f ' ( x0 )= lim‬‬
‫0‪∀x ≤ x‬‬ ‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬ ‫0‪ ∀x ≥ x‬و 0 ≥‬
‫;‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬
‫أي أن 0 ≥ ) 0‪f ' ( x‬‬

‫+‬ ‫0‪x→ x‬‬

‫‪= lim‬‬

‫) 0‪f ( x ) − f ( x‬‬ ‫0‪x − x‬‬

‫−‬ ‫0‪x→ x‬‬

‫أي‬

‫0 ≤ ) 0‪ f ' ( x‬اذن 0 = ) 0‪f ' ( x‬‬

‫0‪x − x‬‬

‫‪ ∀x ∈ J‬ﻓﺎن 0 ≤‬
‫0 ≤ ) 0‪f d ' ( x‬‬

‫و ﺣﻴﺚ ) 0‪f ( x ) ≤ f ( x‬‬

‫;‬‫وﻣﻨﻪ 0 ≥ ) 0‪f g ' ( x‬‬

‫اذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0‪ x‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0‪ x‬ﻓﺎن 0 = ) 0‪f ' ( x‬‬
‫0 = 0‪x‬‬ ‫;‬ ‫ﻣﺜﺎل 3‪f ( x ) = x‬‬
‫‪f‬‬

‫) إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0‪ x‬ﻧﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ(‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻓﺘﻮح ‪ I‬و ‪x0 ∈ I‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ: اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬
‫ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0= 0‪ x‬و 0 = )0 ( ' ‪f‬‬

‫و ﻣﻊ ذﻟﻚ ‪ f‬ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻋﻨﺪ 0‬

‫‪∀x ∈ I‬‬ ‫‪∀x ∈ I‬‬

‫2- اﻻﺷﺘﻘﺎق ورﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 ≥ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫‪( ∀x ∈ I‬‬ ‫‪( ∀x ∈ I‬‬
‫‪∀x ∈ I‬‬ ‫)‪f '( x‬‬

‫) ' ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬أي 0‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﻓﻘﻂ إذاآﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 ≤ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫) ' ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪ I‬أي 0 ≺ ) ‪f ' ( x‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬أي 0 = ) ‪f ' ( x‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ 1 + ‪f ( x ) = x3 − 6 x‬‬
‫) ﻓﻲ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت(‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫أدرس ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬و أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮا ت ‪f‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻄﺎرﻳﻒ ‪ f‬ان وﺟﺪت‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0‪x‬‬ ‫‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎﻓﻲ 0‪ x‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ ' ‪ f‬ﺗﻨﻌﺪم ﻓﻲ 0‪ x‬و ﺗﺘﻐﻴﺮ اﺷﺎرﺗﻬﺎ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻳﺤﺘﻮي‬ ‫ﻋﻠﻰ 0‪x‬‬
‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫1‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫3- ﺗﻘﻌﺮ ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ -- ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫3-1ﺗﻌــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﻣﺤﺪب إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬ ‫‪ (C f‬ﻣﻘﻌﺮ إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬

‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‬

‫‪(C f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ) 0 ‪. M 0 ( x 0 ; f ( x‬‬

‫‪ (C f‬و ) ‪(T‬‬

‫) ‪ (C f‬ﻣﺤﺪب ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ (T‬ﻣﻤـﺎﺳﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬و ‪ P‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﻬــــــﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﻓﺼﻮل وﻳﻨﺘﻤﻴﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ إﻟﻰ )‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ (C f‬ﻓﻮق ) ‪ (T‬وﻣﻨﻪ 0 ≥ ‪PM‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺜﻞ اذا آﺎن ) ‪ (C f‬ﻣﻘﻌﺮ ﻓﺎن 0 ≤ ‪PM‬‬
‫3-2 ﺗﻌـــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘـــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ) ‪ (T‬ﻣﻤـﺎﺳﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬

‫‪ (Cf‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ) 0 ‪. M 0 ( x 0 ; f ( x‬‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬و ‪ P‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﻬــــــﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﻓﺼﻮل وﻳﻨﺘﻤﻴﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ إﻟﻰ ) ‪ (C f‬و ) ‪ (T‬إذا اﻧﻌﺪم ‪ PM‬ﻓﻲ 0‪x‬‬

‫) ‪(C f‬‬

‫و ﺗﻐﻴﺮت إﺷﺎرﺗﻪ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ 0‪ x‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘــــــــــﻄﺔ 0‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫3-3 ﺧـــﺎﺻﻴﺎت‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ اﻻﺷﺘــــــــﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن ) ‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬‫اذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺗـﻨﻌﺪم ﻓﻲ 0‪ x‬ﻣﻦ اﻟــﻤﺠﺎل ‪ I‬وآﺎن ﻳـﻮﺟﺪ +* ∈ ‪ α‬ﺑﺤﻴﺚ إﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪[x0, x0 +α‬‬ ‫ﻣﺨﺎﻟـﻔﺔ ﻹﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ] 0‪ ]x0 −α,x‬ﻓﺎن ) ) 0 ‪ M 0 ( x 0 ; f ( x‬ﻧﻘـﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C f‬‬

‫‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮا ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫)‬

‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن‬ ‫*‬

‫ﻣﻼﺣﻈــــــــﺔ ﻗﺪ ﻻ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ وﻳﻜﻮن ﻣﻊ ذﻟﻚ ﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫‪1 − 2x‬‬ ‫و‬‫ﺗﻤﺮﻳﻦ 1 + ‪f ( x ) = x3 − 3x 2 + x‬‬ ‫2 = )‪g ( x‬‬ ‫2−‪x −x‬‬ ‫1- أدرس ﺗﻘﻌﺮ ‪ C f‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ذات اﻷﻓﺼﻮل 1 ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪C f‬‬

‫2 - أدرس ﺗﻘﻌﺮ ‪ Cg‬و ﺣﺪد ﻧﻘﻂ اﻧﻌﻄﺎف اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪Cg‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫2‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫4- اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬـــــﺎﺋﻴﺔ‬ ‫4-1 ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا ﺁﻟﺖ إﺣﺪى إﺣﺪاﺛــــﻴﺘﻲ ﻧﻘـﻄﺔ ﻣﻦ ‪ C‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ إﻟﻰ اﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن ‪...
tracking img