Miley
1- ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﻤﻄﺮاف أ( ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Iو x0 ∈ I ﻧﻌﺘﺒﺮ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0 xو ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ 0x ﻟﻨﻔﺘﺮض أن fﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0x
∀x ∈ J
وﻣﻨﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح Jﻣﺮآﺰﻩ 0 xﺿﻤﻦ Iﺣﻴﺚ ) 0f ( x ) ≤ f ( x
fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0 xوﻣﻨﻪ ) 0f ' ( x0 ) = f d ' ( x0 ) = f g ' ( x
f ' ( x0 ) = lim
0∀x ≤ x ) 0f ( x ) − f ( x 0x − x 0 ∀x ≥ xو 0 ≥
;
) 0f ( x ) − f ( x 0x − x
) 0f ( x ) − f ( x
أي أن 0 ≥ ) 0f ' ( x
+ 0x→ x
= lim
) 0f ( x ) − f ( x 0x − x
− 0x→ x
أي
0 ≤ ) 0 f ' ( xاذن 0 = ) 0f ' ( x
0x − x
∀x ∈ Jﻓﺎن 0 ≤
0 ≤ ) 0f d ' ( x
و ﺣﻴﺚ ) 0f ( x ) ≤ f ( x
;
وﻣﻨﻪ 0 ≥ ) 0f g ' ( x
اذا آﺎﻧﺖ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 xو ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ 0 xﻓﺎن 0 = ) 0f ' ( x
0 = 0x ; ﻣﺜﺎل 3f ( x ) = x
f
) إذا آﺎﻧﺖ fﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ 0 xﻧﺘﺒﻊ ﻧﻔﺲ اﻟﺨﻄﻮات ﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ( ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻟـﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻓﺘﻮح Iو x0 ∈ I ﻣﻼﺣﻈﺔ: اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ
ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0= 0 xو 0 = ) 0 ( ' f
و ﻣﻊ ذﻟﻚ fﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻋﻨﺪ 0
∀x ∈ I ∀x ∈ I
2- اﻻﺷﺘﻘﺎق ورﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻟـﺘﻜﻦ fﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل I ﺗﻜﻮن fﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ Iإذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' fﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ Iأي 0 ≥ ) f ' ( x ( ∀x ∈ I ( ∀x ∈ I
∀x ∈ I )f '( x
) ' fﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ Iأي 0
ﺗﻜﻮن fﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ Iاذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' fﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ Iأي 0 ≤ ) f ' ( x ) ' fﺳﺎﻟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ Iأي 0 ≺ ) f ' ( x ﺗﻜﻮن fﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ Iإذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' fﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻋﻠﻰ Iأي 0 = ) f ' ( x
ﻧﻌﺘﺒﺮ 1 + f ( x ) = x3 − 6 x
) ﻓﻲ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت(
ﻣﺜﺎل
أدرس ﺗﻐﻴﺮات fو أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮا ت f ﺣﺪد ﻣﻄﺎرﻳﻒ fان وﺟﺪت ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﺘﻜﻦ fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ 0x fﺗﻘﺒﻞ